Решение задачи 615: 3(x + 4)^2 = 10x + 32 и 31x + 77 = 15(x + 1)^2

Решение номера 615. а) \( 3(x + 4)^2 = 10x + 32 \) 1. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \[ 3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32 \] 2. Выполним умножение на 3: \[ 3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32 \] 3. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные: \[ 3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 = 0 \] \[ 3x^2 + 14x + 16 = 0 \] 4. Решим квадратное уравнение через дискриминант \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \] 5. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-14 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-14 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -2\frac{4}{6} = -2\frac{2}{3} \] Ответ: \( -2\frac{2}{3}; -2 \). б) \( 31x + 77 = 15(x + 1)^2 \) 1. Раскроем скобки в правой части: \[ 31x + 77 = 15(x^2 + 2x + 1) \] \[ 31x + 77 = 15x^2 + 30x + 15 \] 2. Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы перед \( x^2 \) был положительный коэффициент: \[ 15x^2 + 30x - 31x + 15 - 77 = 0 \] \[ 15x^2 - x - 62 = 0 \] 3. Найдем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-62) = 1 + 3720 = 3721 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{3721} = 61 \] 4. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{1 + 61}{2 \cdot 15} = \frac{62}{30} = \frac{31}{15} = 2\frac{1}{15} \] \[ x_2 = \frac{1 - 61}{2 \cdot 15} = \frac{-60}{30} = -2 \] Ответ: \( -2; 2\frac{1}{15} \).