Решение: Полная производная сложной функции z(x,y), где x=x(t), y=y(t)

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции нескольких переменных. Дано: Функция \( z = z(x, y) \), где аргументы \( x \) и \( y \) в свою очередь зависят от одной переменной \( t \), то есть \( x = x(t) \) и \( y = y(t) \). Требуется найти производную \( z \) по переменной \( t \). Согласно правилу нахождения полной производной сложной функции, производная \( z'_t \) равна сумме произведений частных производных функции \( z \) по ее промежуточным аргументам на производные этих аргументов по независимой переменной \( t \): \[ z'_t = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \] В краткой записи, используемой в вариантах ответа, это выглядит так: \[ z'_t = z'_x \cdot x'_t + z'_y \cdot y'_t \] Сравним полученный результат с вариантами в тесте: 1. \( z'_t = z'_x x'_t + z'_y y'_t \) — соответствует нашей формуле. 2. Содержит лишние переменные \( u \). 3. Содержит лишние переменные \( v \). 4. Перепутаны индексы дифференцирования. Правильный ответ: 1.