Решение Криволинейного Интеграла ∫(AB) x dy - y dx

Для решения этой задачи необходимо вычислить криволинейный интеграл второго рода по заданной линии. Дано: Интеграл \( \int_{AB} x dy - y dx \). Кривая \( AB \): \( y = x^3 \), где \( 0 \le x \le 2 \). Решение: 1. Найдем дифференциал \( dy \), исходя из уравнения кривой: \[ y = x^3 \implies dy = (x^3)' dx = 3x^2 dx \] 2. Подставим выражения для \( y \) и \( dy \) в подынтегральное выражение: \[ x dy - y dx = x(3x^2 dx) - x^3 dx = 3x^3 dx - x^3 dx = 2x^3 dx \] 3. Теперь перейдем к определенному интегралу по переменной \( x \) в пределах от \( 0 \) до \( 2 \): \[ I = \int_{0}^{2} 2x^3 dx \] 4. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \[ I = 2 \cdot \int_{0}^{2} x^3 dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = 2 \cdot \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) \] \[ I = 2 \cdot \frac{16}{4} = 2 \cdot 4 = 8 \] Сверяем полученный результат с вариантами ответов: 1. 8 2. 10 3. 6 4. 4 Правильный ответ: 1.