Решение Интеграла ∫(x² + 5x + 1) dx

Для решения данной задачи необходимо найти неопределенный интеграл от многочлена. Дано: \[ \int (x^2 + 5x + 1) dx \] Решение: Воспользуемся свойствами линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и основной формулой интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). 1. Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \] \[ \int 5x dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{5x^2}{2} \] \[ \int 1 dx = x \] 2. Собираем полученные результаты и добавляем произвольную постоянную \( C \): \[ \int (x^2 + 5x + 1) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + x + C \] Сверяем полученный результат с вариантами ответов на картинке: 1. \( 2x + 5 + C \) (это производная, а не интеграл) 2. \( \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + x + C \) 3. \( x^3 + 5x^2 + C \) 4. \( \frac{x^2}{2} + 10x^2 + 1 + C \) Правильный ответ: вариант 2.