Решение дифференциального уравнения y'' + y = sin(x)

Для решения этой задачи необходимо определить вид частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Дано уравнение: \[ y'' + y = \sin(x) \] Решение: 1. Сначала найдем характеристики соответствующего однородного уравнения \( y'' + y = 0 \). Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 1 = 0 \] \[ k^2 = -1 \] \[ k = \pm i \] Корни чисто мнимые, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_{оо} = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \] 2. Теперь определим вид частного решения \( y_{чн} \) для правой части \( f(x) = \sin(x) \). Правая часть имеет вид \( \sin(\beta x) \), где \( \beta = 1 \). Число \( i\beta = i \) совпадает с корнем характеристического уравнения. Это случай резонанса. 3. Согласно правилам подбора частного решения, если число \( i\beta \) является корнем характеристического уравнения кратности \( r \), то вид частного решения дополняется множителем \( x^r \). В нашем случае \( r = 1 \), поэтому частное решение ищется в виде: \[ y = (A \cos x + B \sin x) \cdot x \] Сверяем с вариантами ответов: 1. \( y = (A \cos x + B \sin x)x \) 2. \( y = A \sin x + B \cos x \) 3. \( y = (A \cos x + B \sin x)xe^x \) 4. \( y = (A \cos x + B \sin x)e^x \) Правильный ответ: вариант 1.