Решение задачи: Нахождение стационарных точек функции

Для нахождения стационарных точек функции двух переменных необходимо найти ее частные производные по \( x \) и по \( y \), приравнять их к нулю и решить полученную систему уравнений. Дана функция: \[ z = x^2 + xy + y^2 - 2x - 3y \] Решение: 1. Найдем частную производную по \( x \): \[ z'_x = (x^2 + xy + y^2 - 2x - 3y)'_x = 2x + y - 2 \] 2. Найдем частную производную по \( y \): \[ z'_y = (x^2 + xy + y^2 - 2x - 3y)'_y = x + 2y - 3 \] 3. Составим и решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x + y - 2 = 0 \\ x + 2y - 3 = 0 \end{cases} \] Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 2 - 2x \] Подставим полученное выражение во второе уравнение: \[ x + 2(2 - 2x) - 3 = 0 \] \[ x + 4 - 4x - 3 = 0 \] \[ -3x + 1 = 0 \] \[ 3x = 1 \] \[ x = \frac{1}{3} \] Теперь найдем \( y \): \[ y = 2 - 2 \cdot \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6-2}{3} = \frac{4}{3} \] Таким образом, стационарная точка имеет координаты \( (\frac{1}{3}; \frac{4}{3}) \). Сверяем с вариантами ответов: 1. \( (\frac{1}{3}; \frac{4}{3}) \) 2. \( (1; 4) \) 3. \( (4; 1) \) 4. \( (-2; 1) \) Правильный ответ: вариант 1. На скриншоте варианты ответов в списке выбора пронумерованы отдельно, поэтому нужно выбрать кружок, соответствующий первому варианту.