Решение задачи: Площадь фигуры, ограниченной линиями xy=4, y=x и x=4

Для нахождения площади области \( D \), ограниченной линиями \( xy = 4 \), \( y = x \) и \( x = 4 \), воспользуемся определенным интегралом. Решение: 1. Определим границы интегрирования. Линии, ограничивающие область: - Гипербола: \( y = \frac{4}{x} \) - Прямая: \( y = x \) - Вертикальная прямая: \( x = 4 \) Найдем точку пересечения гиперболы \( y = \frac{4}{x} \) и прямой \( y = x \): \[ x = \frac{4}{x} \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \] (берем \( x = 2 \), так как область находится в первой четверти, что видно по границе \( x = 4 \)). Таким образом, интегрирование будет проходить от \( x = 2 \) до \( x = 4 \). 2. Определим, какая функция находится выше на интервале \( [2, 4] \). При \( x = 3 \): \( y = x = 3 \) \( y = \frac{4}{x} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \) Следовательно, прямая \( y = x \) лежит выше гиперболы. 3. Вычислим площадь \( S \) как интеграл разности функций: \[ S = \int_{2}^{4} (x - \frac{4}{x}) dx \] Вычисляем первообразную: \[ S = [ \frac{x^2}{2} - 4 \ln|x| ]_{2}^{4} \] Подставляем верхний и нижний пределы: \[ S = ( \frac{4^2}{2} - 4 \ln 4 ) - ( \frac{2^2}{2} - 4 \ln 2 ) \] \[ S = ( \frac{16}{2} - 4 \ln 4 ) - ( \frac{4}{2} - 4 \ln 2 ) \] \[ S = 8 - 4 \ln(2^2) - 2 + 4 \ln 2 \] \[ S = 6 - 8 \ln 2 + 4 \ln 2 \] \[ S = 6 - 4 \ln 2 \] Заметим, что выражение \( 6 - 4 \ln 2 \) можно записать как \( -4 \ln 2 + 6 \). Сверяем с вариантами ответов: 1. \( -4 \ln 2 + 6 \) 2. \( 6 \) 3. \( 4 \ln 2 - 6 \) 4. \( -\ln 2 + 6 \) Правильный ответ: вариант 1. На скриншоте в списке выбора нужно отметить первый вариант.