Решение задачи: y = (x - 2)^2 * e^(-x) на отрезке [0; 5]

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = (x - 2)^2 \cdot e^{-x} \) на отрезке \( [0; 5] \), необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, попадающих в этот интервал. 1. Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ y' = ((x - 2)^2)' \cdot e^{-x} + (x - 2)^2 \cdot (e^{-x})' \] \[ y' = 2(x - 2) \cdot e^{-x} + (x - 2)^2 \cdot (-e^{-x}) \] Вынесем общий множитель \( (x - 2)e^{-x} \) за скобки: \[ y' = (x - 2)e^{-x} \cdot (2 - (x - 2)) = (x - 2)e^{-x} \cdot (2 - x + 2) = (x - 2)(4 - x)e^{-x} \] 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ (x - 2)(4 - x)e^{-x} = 0 \] Так как \( e^{-x} > 0 \) при любых \( x \), то: \[ x_1 = 2, \quad x_2 = 4 \] Обе точки принадлежат отрезку \( [0; 5] \). 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: При \( x = 0 \): \( y(0) = (0 - 2)^2 \cdot e^0 = 4 \cdot 1 = 4 \) При \( x = 2 \): \( y(2) = (2 - 2)^2 \cdot e^{-2} = 0 \cdot e^{-2} = 0 \) При \( x = 4 \): \( y(4) = (4 - 2)^2 \cdot e^{-4} = 4 \cdot e^{-4} = \frac{4}{e^4} \approx 0.073 \) При \( x = 5 \): \( y(5) = (5 - 2)^2 \cdot e^{-5} = 9 \cdot e^{-5} = \frac{9}{e^5} \approx 0.060 \) 4. Сравним полученные значения: Число \( 4 \) является самым большим среди всех вычисленных значений, так как \( e^4 \) и \( e^5 \) — это большие числа, и дроби с ними в знаменателе значительно меньше единицы. Наибольшее значение функции равно 4. Ответ: 4