Решение задачи: Формула полной вероятности

Для решения данной задачи воспользуемся формулой Байеса, которая является следствием формулы полной вероятности. Дано: \(N_1 = 10\) — количество деталей с завода №1; \(N_2 = 20\) — количество деталей с завода №2; \(p_1 = 0,05\) — вероятность брака для завода №1; \(p_2 = 0,03\) — вероятность брака для завода №2. Решение: 1. Определим гипотезы: \(H_1\) — деталь изготовлена на заводе №1; \(H_2\) — деталь изготовлена на заводе №2. 2. Найдем вероятности этих гипотез. Всего деталей в ящике: \[N = N_1 + N_2 = 10 + 20 = 30\] Тогда: \[P(H_1) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\] \[P(H_2) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}\] 3. Условные вероятности того, что деталь бракованная (событие \(A\)), при условии выбора конкретного завода: \[P(A|H_1) = 0,05\] \[P(A|H_2) = 0,03\] 4. Найдем полную вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной, по формуле полной вероятности: \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)\] \[P(A) = \frac{1}{3} \cdot 0,05 + \frac{2}{3} \cdot 0,03 = \frac{0,05 + 0,06}{3} = \frac{0,11}{3} \approx 0,0367\] 5. Нам необходимо найти вероятность того, что бракованная деталь была изготовлена на заводе №1. Используем формулу Байеса: \[P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)}\] \[P(H_1|A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0,05}{\frac{0,11}{3}} = \frac{0,05}{0,11} = \frac{5}{11}\] 6. Вычислим итоговое значение: \[P(H_1|A) \approx 0,4545\] Ответ: Вероятность того, что бракованная деталь произведена на заводе №1, составляет \(\frac{5}{11}\) или примерно 0,45.