Решение задачи: Вероятность брака и формула Байеса

Задача №5 Условие: В ящике 10 деталей с завода №1 и 20 деталей с завода №2. Вероятность брака для завода №1 \(p_1 = 0,05\), для завода №2 \(p_2 = 0,03\). Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она с завода №1? Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой Байеса. 1. Определим гипотезы: \(H_1\) — взятая деталь произведена на заводе №1; \(H_2\) — взятая деталь произведена на заводе №2. Всего деталей в ящике: \(10 + 20 = 30\). Вероятности гипотез: \[P(H_1) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\] \[P(H_2) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}\] 2. Пусть событие \(A\) — взятая деталь оказалась бракованной. Условные вероятности брака для каждого завода: \[P(A|H_1) = 0,05\] \[P(A|H_2) = 0,03\] 3. Найдем полную вероятность события \(A\) (вероятность того, что любая выбранная деталь будет бракованной): \[P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)\] \[P(A) = \frac{1}{3} \cdot 0,05 + \frac{2}{3} \cdot 0,03 = \frac{0,05}{3} + \frac{0,06}{3} = \frac{0,11}{3}\] 4. По формуле Байеса найдем вероятность того, что бракованная деталь принадлежит заводу №1: \[P(H_1|A) = \frac{P(H_1) \cdot P(A|H_1)}{P(A)}\] \[P(H_1|A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 0,05}{\frac{0,11}{3}} = \frac{0,05}{0,11} = \frac{5}{11} \approx 0,4545\] Ответ: \(\frac{5}{11}\) (или примерно \(0,455\)).