Решение Примера 7: Интеграл ∫ e^(√x)/√x dx

Задание №3. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл. Пример №7: \[ \int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx \] Решение: Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть: \[ t = \sqrt{x} \] Тогда найдем дифференциал \( dt \): \[ dt = (\sqrt{x})' dx = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \] Отсюда выразим часть выражения, стоящую под интегралом: \[ \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt \] Теперь изменим пределы интегрирования для переменной \( t \): Если \( x = 1 \), то \( t = \sqrt{1} = 1 \). Если \( x = 4 \), то \( t = \sqrt{4} = 2 \). Подставим новые значения в интеграл: \[ \int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{2} e^t \cdot 2 dt = 2 \int_{1}^{2} e^t dt \] Применим формулу Ньютона-Лейбница: \[ 2 \int_{1}^{2} e^t dt = 2 \cdot [e^t] \Big|_1^2 = 2(e^2 - e^1) = 2(e^2 - e) \] Ответ: \[ 2(e^2 - e) \]