Решение примера 7 с комплексными числами

Задание №1 (вариант 7) Выполните действия над комплексными числами и запишите результат в тригонометрической и показательной формах. \[ z = \frac{1 - i}{4 + 2i} - \frac{2 + 3i}{4 - 5i} \] Решение: 1. Вычислим первое слагаемое, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число \( (4 - 2i) \): \[ \frac{1 - i}{4 + 2i} = \frac{(1 - i)(4 - 2i)}{(4 + 2i)(4 - 2i)} = \frac{4 - 2i - 4i + 2i^2}{16 - 4i^2} \] Так как \( i^2 = -1 \): \[ \frac{4 - 6i - 2}{16 + 4} = \frac{2 - 6i}{20} = \frac{1}{10} - \frac{3}{10}i = 0,1 - 0,3i \] 2. Вычислим второе слагаемое, умножив на сопряженное \( (4 + 5i) \): \[ \frac{2 + 3i}{4 - 5i} = \frac{(2 + 3i)(4 + 5i)}{(4 - 5i)(4 + 5i)} = \frac{8 + 10i + 12i + 15i^2}{16 - 25i^2} \] \[ \frac{8 + 22i - 15}{16 + 25} = \frac{-7 + 22i}{41} = -\frac{7}{41} + \frac{22}{41}i \approx -0,17 + 0,54i \] 3. Найдем разность: \[ z = (0,1 - 0,3i) - (-0,17 + 0,54i) = 0,1 + 0,17 - 0,3i - 0,54i = 0,27 - 0,84i \] Для точности выполним вычитание в обыкновенных дробях: \[ z = \left( \frac{1}{10} - \frac{3}{10}i \right) - \left( -\frac{7}{41} + \frac{22}{41}i \right) = \left( \frac{1}{10} + \frac{7}{41} \right) - \left( \frac{3}{10} + \frac{22}{41} \right)i \] \[ z = \frac{41 + 70}{410} - \frac{123 + 220}{410}i = \frac{111}{410} - \frac{343}{410}i \] Алгебраическая форма: \( z \approx 0,271 - 0,837i \) 4. Представим число в тригонометрической и показательной формах. Найдем модуль \( r \): \[ r = |z| = \sqrt{\left(\frac{111}{410}\right)^2 + \left(-\frac{343}{410}\right)^2} = \frac{\sqrt{12321 + 117649}}{410} = \frac{\sqrt{129970}}{410} \approx 0,879 \] Найдем аргумент \( \varphi \). Так как \( x > 0, y < 0 \), число находится в IV четверти: \[ \varphi = \text{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) = \text{arctg}\left(\frac{-343}{111}\right) \approx -1,257 \text{ рад (или } -72^{\circ}) \] Тригонометрическая форма: \[ z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi) \approx 0,879(\cos(-1,257) + i\sin(-1,257)) \] Показательная форма: \[ z = re^{i\varphi} \approx 0,879e^{-1,257i} \]