Решение задачи с комплексными числами: Вариант 7

Задание №1 (вариант 7) Выполните действия над комплексными числами и запишите результат в тригонометрической и показательной формах. \[ z = \frac{1 - i}{4 + 2i} - \frac{2 + 3i}{4 - 5i} \] Решение: 1. Вычислим первую дробь, избавившись от мнимости в знаменателе: \[ \frac{1 - i}{4 + 2i} = \frac{(1 - i)(4 - 2i)}{(4 + 2i)(4 - 2i)} = \frac{4 - 2i - 4i + 2i^2}{16 - 4i^2} = \frac{4 - 6i - 2}{16 + 4} = \frac{2 - 6i}{20} = \frac{1}{10} - \frac{3}{10}i \] 2. Вычислим вторую дробь: \[ \frac{2 + 3i}{4 - 5i} = \frac{(2 + 3i)(4 + 5i)}{(4 - 5i)(4 + 5i)} = \frac{8 + 10i + 12i + 15i^2}{16 - 25i^2} = \frac{8 + 22i - 15}{16 + 25} = \frac{-7 + 22i}{41} = -\frac{7}{41} + \frac{22}{41}i \] 3. Найдем разность полученных чисел: \[ z = \left( \frac{1}{10} - \frac{3}{10}i \right) - \left( -\frac{7}{41} + \frac{22}{41}i \right) = \left( \frac{1}{10} + \frac{7}{41} \right) + i \left( -\frac{3}{10} - \frac{22}{41} \right) \] Приведем к общему знаменателю 410: \[ z = \frac{41 + 70}{410} + i \frac{-123 - 220}{410} = \frac{111}{410} - \frac{343}{410}i \] 4. Переведем число в тригонометрическую и показательную формы. Найдем модуль \( r \): \[ r = \sqrt{\left(\frac{111}{410}\right)^2 + \left(-\frac{343}{410}\right)^2} = \sqrt{\frac{12321 + 117649}{410^2}} = \frac{\sqrt{129970}}{410} \] Найдем аргумент \( \varphi \). Так как \( x > 0 \) (действительная часть) и \( y < 0 \) (мнимая часть), число находится в IV четверти: \[ \varphi = \text{arctg} \left( \frac{-343/410}{111/410} \right) = \text{arctg} \left( -\frac{343}{111} \right) = -\text{arctg} \left( \frac{343}{111} \right) \] Тригонометрическая форма: \[ z = \frac{\sqrt{129970}}{410} \left( \cos \left( -\text{arctg} \frac{343}{111} \right) + i \sin \left( -\text{arctg} \frac{343}{111} \right) \right) \] Показательная форма: \[ z = \frac{\sqrt{129970}}{410} e^{-i \cdot \text{arctg} \frac{343}{111}} \]