Решение задачи: Нахождение Якобиана

Решение задачи: На изображении представлено задание: найти якобиан функций \( x = -\frac{3}{4}u + \frac{3}{4}v \) и \( y = \frac{1}{4}u + \frac{3}{4}v \). 1. Якобиан \( J \) для системы двух функций от двух переменных определяется как определитель матрицы, составленной из частных производных: \[ J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \] 2. Найдем частные производные функции \( x \): \[ \frac{\partial x}{\partial u} = -\frac{3}{4} \] \[ \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{3}{4} \] 3. Найдем частные производные функции \( y \): \[ \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{3}{4} \] 4. Вычислим определитель: \[ J = \begin{vmatrix} -\frac{3}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{vmatrix} = \left( -\frac{3}{4} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right) - \left( \frac{3}{4} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) \] 5. Выполним арифметические действия: \[ J = -\frac{9}{16} - \frac{3}{16} = -\frac{12}{16} \] Сократим дробь на 4: \[ J = -\frac{3}{4} \] Сравнивая с предложенными вариантами: 1) \( -\frac{3}{4} \) 2) \( \frac{1}{4} \) 3) \( -\frac{3}{4} \) (повтор или опечатка в тесте, но значение совпадает) 4) \( 3 \) Правильный ответ соответствует варианту 1. Ответ: \( -\frac{3}{4} \)