Решение дифференциального уравнения y'' - y' - 6y = -7sin x - cos x

Решение задачи: На изображении представлено задание: найти частное решение дифференциального уравнения \( y'' - y' - 6y = -7\sin x - \cos x \), удовлетворяющее начальным условиям \( y(0)=1 \) и \( y'(0)=-1 \). Нужно определить, какие слагаемые оно содержит. 1. Сначала найдем общее решение однородного уравнения \( y'' - y' - 6y = 0 \). Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - k - 6 = 0 \] По теореме Виета корни уравнения: \( k_1 = 3 \), \( k_2 = -2 \). Общее решение однородного уравнения имеет вид: \[ y_{оо} = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x} \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения \( y_{чн} \) для правой части \( -7\sin x - \cos x \). Будем искать его в виде: \( y_{чн} = A\cos x + B\sin x \). Вычислим производные: \[ y'_{чн} = -A\sin x + B\cos x \] \[ y''_{чн} = -A\cos x - B\sin x \] Подставим в исходное уравнение: \[ (-A\cos x - B\sin x) - (-A\sin x + B\cos x) - 6(A\cos x + B\sin x) = -7\sin x - \cos x \] Сгруппируем при \( \cos x \) и \( \sin x \): \[ \cos x (-A - B - 6A) + \sin x (-B + A - 6B) = -7\sin x - \cos x \] \[ \cos x (-7A - B) + \sin x (A - 7B) = -7\sin x - \cos x \] Система уравнений: \[ \begin{cases} -7A - B = -1 \\ A - 7B = -7 \end{cases} \] Из второго уравнения \( A = 7B - 7 \). Подставим в первое: \[ -7(7B - 7) - B = -1 \Rightarrow -49B + 49 - B = -1 \Rightarrow -50B = -50 \Rightarrow B = 1 \] Тогда \( A = 7(1) - 7 = 0 \). Частное решение неоднородного уравнения: \( y_{чн} = \sin x \). 3. Общее решение неоднородного уравнения: \[ y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x} + \sin x \] 4. Найдем константы \( C_1 \) и \( C_2 \) из начальных условий: \( y(0) = C_1 + C_2 + 0 = 1 \Rightarrow C_1 + C_2 = 1 \) Найдем производную: \( y'(x) = 3C_1 e^{3x} - 2C_2 e^{-2x} + \cos x \) \( y'(0) = 3C_1 - 2C_2 + 1 = -1 \Rightarrow 3C_1 - 2C_2 = -2 \) Решим систему: \[ \begin{cases} C_1 + C_2 = 1 \\ 3C_1 - 2C_2 = -2 \end{cases} \] Умножим первое на 2: \( 2C_1 + 2C_2 = 2 \). Сложим со вторым: \[ 5C_1 = 0 \Rightarrow C_1 = 0 \] Тогда \( C_2 = 1 \). 5. Итоговое частное решение: \[ y(x) = 0 \cdot e^{3x} + 1 \cdot e^{-2x} + \sin x = e^{-2x} + \sin x \] Решение содержит слагаемые \( e^{-2x} \) и \( \sin x \). Это соответствует варианту номер 3. Ответ: 3