Решение: Найти частную производную z'_y в точке A(2; 2)

Решение задачи: На изображении представлено задание: найти значение частной производной \( z'_y \) в точке \( A(2; 2) \) от функции \( z = \frac{2x}{y} + 4\sqrt{x} - 1 \). 1. Найдем частную производную функции \( z \) по переменной \( y \). При этом переменная \( x \) считается константой: \[ z'_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{2x}{y} + 4\sqrt{x} - 1 \right) \] 2. Производная суммы равна сумме производных. Заметим, что слагаемые \( 4\sqrt{x} \) и \( -1 \) не зависят от \( y \), поэтому их производные по \( y \) равны нулю: \[ z'_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2x \cdot y^{-1} \right) + 0 - 0 \] 3. Выносим константу \( 2x \) и дифференцируем \( y^{-1} \): \[ z'_y = 2x \cdot (-1) \cdot y^{-2} = -\frac{2x}{y^2} \] 4. Теперь подставим координаты точки \( A(2; 2) \), где \( x = 2 \) и \( y = 2 \), в полученное выражение: \[ z'_y(2; 2) = -\frac{2 \cdot 2}{2^2} = -\frac{4}{4} = -1 \] Ответ: -1