Смена порядка интегрирования в двойном интеграле

Решение задачи: На изображении дано задание: изменить порядок интегрирования для повторного интеграла \[ \int_{2}^{4} dx \int_{\frac{4}{x}}^{\frac{6-x}{2}} f(x,y) dy \] 1. Опишем область интегрирования \( D \) по исходным пределам: По переменной \( x \): \( 2 \le x \le 4 \) По переменной \( y \): \( \frac{4}{x} \le y \le \frac{6-x}{2} \) 2. Найдем границы области: Нижняя граница: \( y = \frac{4}{x} \). Выразим \( x \) через \( y \): \( x = \frac{4}{y} \). Верхняя граница: \( y = \frac{6-x}{2} \). Выразим \( x \) через \( y \): \[ 2y = 6 - x \implies x = 6 - 2y \] 3. Определим пределы изменения \( y \): Найдем точки пересечения кривых: При \( x = 2 \): \( y = \frac{4}{2} = 2 \) и \( y = \frac{6-2}{2} = 2 \). Точка (2; 2). При \( x = 4 \): \( y = \frac{4}{4} = 1 \) и \( y = \frac{6-4}{2} = 1 \). Точка (4; 1). Следовательно, \( y \) изменяется от 1 до 2. 4. Запишем область \( D \), рассматривая \( y \) как внешнюю переменную: Для любого \( y \in [1, 2] \) переменная \( x \) меняется от левой границы до правой. Левая граница: гипербола \( x = \frac{4}{y} \). Правая граница: прямая \( x = 6 - 2y \). 5. Сформируем новый повторный интеграл: \[ \int_{1}^{2} dy \int_{\frac{4}{y}}^{6-2y} f(x,y) dx \] Сравнивая с вариантами ответов на картинке, мы видим, что это второй вариант (сверху вниз). Ответ: \( \int_{1}^{2} dy \int_{\frac{4}{y}}^{6-2y} f(x,y) dx \)