Решение задачи на радиус сходимости степенного ряда

Решение задачи: На изображении представлено задание: найти радиус сходимости степенного ряда \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n x^n}{3^n (n+1)} \] 1. Выпишем коэффициент ряда \( a_n \): \[ a_n = \frac{n}{3^n (n+1)} \] 2. Для нахождения радиуса сходимости \( R \) воспользуемся формулой Даламбера: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \] 3. Найдем коэффициент \( a_{n+1} \): \[ a_{n+1} = \frac{n+1}{3^{n+1} (n+2)} \] 4. Составим отношение \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \): \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n}{3^n (n+1)} \cdot \frac{3^{n+1} (n+2)}{n+1} = \frac{n \cdot 3^n \cdot 3 \cdot (n+2)}{3^n \cdot (n+1) \cdot (n+1)} = \frac{3n(n+2)}{(n+1)^2} \] 5. Вычислим предел при \( n \to \infty \): \[ R = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 6n}{n^2 + 2n + 1} \] Разделим числитель и знаменатель на \( n^2 \): \[ R = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{6}{n}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0}{1 + 0 + 0} = 3 \] Ответ: 3