Суммативная работа № 2-1 по разделу «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника». Геометрия. 8 класс.
1 вариант
1. В прямоугольном треугольнике угол равен 30°, гипотенуза — 12 см. Найди катеты.
- выполни чертёж по условию задачи;
- запиши подходящие тригонометрические формулы;
- вычисли длины катетов.
Дано:
Прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°).
Угол A = 30°.
Гипотенуза AB = 12 см.
Найти:
Катет BC.
Катет AC.
Решение:
1. Чертёж:
Нарисуем прямоугольный треугольник. Обозначим вершины A, B, C. Угол C прямой (90°). Угол A равен 30°. Сторона AB — гипотенуза, равна 12 см. Стороны BC и AC — катеты.
(Здесь должен быть рисунок прямоугольного треугольника. Вершина прямого угла C, вершина A слева внизу, вершина B сверху. Гипотенуза AB, катет BC напротив угла A, катет AC прилежащий к углу A.)
2. Подходящие тригонометрические формулы:
Для угла A:
Синус угла A — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]Косинус угла A — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
\[\cos A = \frac{AC}{AB}\]3. Вычислим длины катетов:
Найдем катет BC:
\[\sin 30^\circ = \frac{BC}{12}\]Мы знаем, что \(\sin 30^\circ = 0.5\).
\[0.5 = \frac{BC}{12}\] \[BC = 0.5 \cdot 12\] \[BC = 6 \text{ см}\]Найдем катет AC:
\[\cos 30^\circ = \frac{AC}{12}\]Мы знаем, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (приблизительно 0.866).
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{12}\] \[AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12\] \[AC = 6\sqrt{3} \text{ см}\]Если требуется десятичное приближение:
\[AC \approx 6 \cdot 1.732\] \[AC \approx 10.392 \text{ см}\]Ответ: Длины катетов равны 6 см и \(6\sqrt{3}\) см (или приблизительно 10.392 см).
2. Турист идёт по склону (см. рис.). Он прошёл 30 м по склону и поднялся на высоту 18 м. Определи длину горизонтального пути.
Дано:
Прямоугольный треугольник (склон, высота, горизонтальный путь).
Длина склона (гипотенуза) = 30 м.
Высота подъёма (катет) = 18 м.
Найти:
Длина горизонтального пути (второй катет).
Решение:
Обозначим длину склона как c, высоту подъёма как a, и длину горизонтального пути как b.
По условию задачи, склон, высота и горизонтальный путь образуют прямоугольный треугольник. Мы можем использовать теорему Пифагора:
\[a^2 + b^2 = c^2\]Подставим известные значения:
\[18^2 + b^2 = 30^2\] \[324 + b^2 = 900\] \[b^2 = 900 - 324\] \[b^2 = 576\] \[b = \sqrt{576}\] \[b = 24 \text{ м}\]Ответ: Длина горизонтального пути составляет 24 м.
3. Участок под дом. Строитель измерил стороны участка: 5 м, 7 м, 9 м. Является ли угол между короткими сторонами прямым?
Дано:
Стороны треугольного участка: a = 5 м, b = 7 м, c = 9 м.
Найти:
Является ли угол между короткими сторонами прямым?
Решение:
Короткие стороны — это 5 м и 7 м. Если угол между ними прямой, то треугольник является прямоугольным, и самая длинная сторона (9 м) должна быть гипотенузой. Проверим это с помощью теоремы Пифагора:
\[a^2 + b^2 = c^2\]Подставим значения коротких сторон в левую часть, а самой длинной стороны в правую часть:
\[5^2 + 7^2 = 9^2\] \[25 + 49 = 81\] \[74 = 81\]Так как \(74 \neq 81\), то теорема Пифагора не выполняется. Следовательно, угол между короткими сторонами не является прямым.
Ответ: Нет, угол между короткими сторонами не является прямым.
4. Существует ли угол, синус которого равен 0,6, а косинус 0,8?
Ответ: Да, такой угол существует. Это связано с основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Проверим: \[(0.6)^2 + (0.8)^2 = 0.36 + 0.64 = 1\] Так как тождество выполняется, такой угол существует. Это угол, приблизительно равный 36.87 градусам.
5. Дрон завис над точкой А (см. рис). Точки В и С на земле образуют прямой угол. Вертикальная проекция дрона – высота, делящая расстояние ВС на 120 м и 30 м. Найти высоту дрона.
Дано:
Прямоугольный треугольник ABC (угол B = 90°). (Предполагаем, что точки B и C на земле образуют прямой угол с точкой A, которая является проекцией дрона на землю, или что точка A - это проекция дрона, а B и C - точки на земле, образующие прямой угол с A). Судя по рисунку, дрон находится над точкой, которая является вершиной прямого угла на земле, а точки B и C находятся на земле, и расстояние между ними делится высотой дрона. Давайте уточним интерпретацию. Если "Точки В и С на земле образуют прямой угол" и "Вертикальная проекция дрона – высота, делящая расстояние ВС на 120 м и 30 м", то это означает, что дрон находится над точкой, которая является вершиной прямого угла, а высота дрона является перпендикуляром к плоскости земли. Расстояние ВС - это гипотенуза треугольника на земле. Но по рисунку, дрон находится над точкой A, а B и C - точки на земле, и A, B, C образуют прямоугольный треугольник на земле, где A - вершина прямого угла. А высота дрона опускается из точки над A. И эта высота делит расстояние BC. Это не совсем стандартная формулировка. Давайте предположим, что A - это точка на земле, над которой завис дрон. B и C - другие точки на земле. И угол BAC = 90 градусов. Высота дрона - это перпендикуляр из дрона на точку A. И эта высота делит расстояние BC. Это тоже странно. Давайте рассмотрим наиболее вероятную интерпретацию, исходя из типичных задач по геометрии и рисунка: Дрон находится в точке D (над землей). Его вертикальная проекция на землю - точка A. Точки B и C находятся на земле. Треугольник ABC - прямоугольный, с прямым углом при вершине A. Высота дрона - это отрезок DA. Расстояние BC делится точкой A на отрезки BA и AC. Но в условии сказано "делящая расстояние ВС на 120 м и 30 м". Это означает, что точка A находится на отрезке BC, и BA = 120 м, AC = 30 м. Если так, то треугольник ABC не может быть прямоугольным с прямым углом при A, если A лежит на BC. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что дрон находится над точкой H на гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC, где угол A = 90 градусов. И высота, опущенная из A на BC, делит BC на отрезки BH и HC. Но в условии "Точки В и С на земле образуют прямой угол" - это очень сбивает. Давайте предположим, что "Точки В и С на земле образуют прямой угол" означает, что угол при вершине, где находится проекция дрона на землю, является прямым. То есть, если проекция дрона - точка A, то угол BAC = 90 градусов. И "Вертикальная проекция дрона – высота, делящая расстояние ВС на 120 м и 30 м" означает, что высота, опущенная из вершины прямого угла A на гипотенузу BC, делит гипотенузу на отрезки BH = 120 м и HC = 30 м. Тогда нам нужно найти высоту дрона, которая является высотой AD в прямоугольном треугольнике ABC, где D - точка на BC. Дано (интерпретация): Прямоугольный треугольник ABC, с прямым углом при вершине A. Высота AD опущена из вершины A на гипотенузу BC. Отрезки, на которые высота делит гипотенузу: BD = 120 м, DC = 30 м. Высота дрона - это длина отрезка AD. Найти: Высоту дрона (AD). Решение: В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть: \[AD^2 = BD \cdot DC\] \[AD^2 = 120 \cdot 30\] \[AD^2 = 3600\] \[AD = \sqrt{3600}\] \[AD = 60 \text{ м}\]
Ответ: Высота дрона составляет 60 м.