Решение задачи: количество вещества в воде

Хорошо, давайте решим эти задачи по молекулярной физике. Задачи по молекулярной физике 1.1 1. Чему равно количество вещества (в молях), содержащегося в воде массой 1 г? Дано: Масса воды \(m = 1\) г \( = 0.001\) кг Молярная масса воды \(M(\text{H}_2\text{O})\) Атомная масса водорода \(M_a(\text{H}) = 1\) г/моль Атомная масса кислорода \(M_a(\text{O}) = 16\) г/моль Решение: Сначала найдем молярную массу воды. Молекула воды состоит из двух атомов водорода и одного атома кислорода. \[M(\text{H}_2\text{O}) = 2 \cdot M_a(\text{H}) + M_a(\text{O}) = 2 \cdot 1 \text{ г/моль} + 16 \text{ г/моль} = 18 \text{ г/моль} = 0.018 \text{ кг/моль}\] Количество вещества \( \nu \) (ню) определяется по формуле: \[\nu = \frac{m}{M}\] Подставим значения: \[\nu = \frac{1 \text{ г}}{18 \text{ г/моль}} \approx 0.0556 \text{ моль}\] Ответ: Количество вещества в 1 г воды примерно равно 0.0556 моль. 2. Во сколько раз число атомов в углероде массой 12 кг превышает число молекул в кислороде массой 16 кг? Дано: Масса углерода \(m_C = 12\) кг Масса кислорода \(m_{O_2} = 16\) кг Молярная масса углерода \(M_C = 12\) г/моль \( = 0.012\) кг/моль Молярная масса кислорода \(M_{O_2} = 32\) г/моль \( = 0.032\) кг/моль (молекула кислорода \(O_2\)) Число Авогадро \(N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\) Решение: Найдем количество вещества углерода: \[\nu_C = \frac{m_C}{M_C} = \frac{12 \text{ кг}}{0.012 \text{ кг/моль}} = 1000 \text{ моль}\] Число атомов углерода \(N_C\): \[N_C = \nu_C \cdot N_A = 1000 \text{ моль} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 6.022 \cdot 10^{26}\] Найдем количество вещества кислорода: \[\nu_{O_2} = \frac{m_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{16 \text{ кг}}{0.032 \text{ кг/моль}} = 500 \text{ моль}\] Число молекул кислорода \(N_{O_2}\): \[N_{O_2} = \nu_{O_2} \cdot N_A = 500 \text{ моль} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 3.011 \cdot 10^{26}\] Найдем, во сколько раз число атомов углерода превышает число молекул кислорода: \[\frac{N_C}{N_{O_2}} = \frac{6.022 \cdot 10^{26}}{3.011 \cdot 10^{26}} = 2\] Ответ: Число атомов в углероде массой 12 кг в 2 раза превышает число молекул в кислороде массой 16 кг. 3. Молярная масса азота равна 0.028 кг/моль. Чему равна масса молекулы? Дано: Молярная масса азота \(M(\text{N}_2) = 0.028\) кг/моль Число Авогадро \(N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\) Решение: Масса одной молекулы \(m_0\) (эм-ноль) определяется по формуле: \[m_0 = \frac{M}{N_A}\] Подставим значения: \[m_0 = \frac{0.028 \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 4.65 \cdot 10^{-26} \text{ кг}\] Ответ: Масса молекулы азота примерно равна \(4.65 \cdot 10^{-26}\) кг. 4. Определите число атомов меди объёмом 1 м\(^3\). Молярная масса меди \(M = 0.0635\) кг/моль, её плотность 9000 кг/м\(^3\). Дано: Объём меди \(V = 1\) м\(^3\) Молярная масса меди \(M = 0.0635\) кг/моль Плотность меди \( \rho = 9000\) кг/м\(^3\) Число Авогадро \(N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\) Решение: Сначала найдем массу меди в данном объёме: \[m = \rho \cdot V = 9000 \text{ кг/м}^3 \cdot 1 \text{ м}^3 = 9000 \text{ кг}\] Затем найдем количество вещества меди: \[\nu = \frac{m}{M} = \frac{9000 \text{ кг}}{0.0635 \text{ кг/моль}} \approx 141732.28 \text{ моль}\] Теперь найдем число атомов меди \(N\): \[N = \nu \cdot N_A = 141732.28 \text{ моль} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 8.533 \cdot 10^{28}\] Ответ: Число атомов меди объёмом 1 м\(^3\) примерно равно \(8.533 \cdot 10^{28}\). 5. Плотность алмаза 3500 кг/м\(^3\). Какой объём займут \(10^{22}\) атомов этого вещества? Дано: Плотность алмаза \( \rho = 3500\) кг/м\(^3\) Число атомов \(N = 10^{22}\) Молярная масса углерода (алмаз - это углерод) \(M_C = 12\) г/моль \( = 0.012\) кг/моль Число Авогадро \(N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\) Решение: Сначала найдем количество вещества \( \nu \) для \(10^{22}\) атомов: \[\nu = \frac{N}{N_A} = \frac{10^{22}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 0.0166 \text{ моль}\] Затем найдем массу этого количества вещества: \[m = \nu \cdot M_C = 0.0166 \text{ моль} \cdot 0.012 \text{ кг/моль} \approx 0.0001992 \text{ кг}\] Теперь найдем объём \(V\), который займет эта масса: \[V = \frac{m}{\rho} = \frac{0.0001992 \text{ кг}}{3500 \text{ кг/м}^3} \approx 5.69 \cdot 10^{-8} \text{ м}^3\] Ответ: \(10^{22}\) атомов алмаза займут объём примерно \(5.69 \cdot 10^{-8}\) м\(^3\). 6. Определите число атомных слоёв серебряного покрытия толщиной 15 мкм. Плотность серебра \(1.05 \cdot 10^4\) кг/м\(^3\). Дано: Толщина покрытия \(h = 15\) мкм \( = 15 \cdot 10^{-6}\) м Плотность серебра \( \rho = 1.05 \cdot 10^4\) кг/м\(^3\) Молярная масса серебра \(M_{Ag} = 107.868\) г/моль \( \approx 0.107868\) кг/моль Число Авогадро \(N_A = 6.022 \cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\) Решение: Сначала найдем массу одного атома серебра: \[m_0 = \frac{M_{Ag}}{N_A} = \frac{0.107868 \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 1.791 \cdot 10^{-25} \text{ кг}\] Предположим, что атомы расположены вплотную друг к другу. Тогда объём, занимаемый одним атомом, можно оценить как: \[V_0 = \frac{m_0}{\rho} = \frac{1.791 \cdot 10^{-25} \text{ кг}}{1.05 \cdot 10^4 \text{ кг/м}^3} \approx 1.706 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3\] Если считать атом сферой, то его радиус \(r\) можно найти из \(V_0 = \frac{4}{3}\pi r^3\). Однако для оценки толщины слоя удобнее использовать эффективный диаметр атома \(d\), который можно оценить как кубический корень из объёма, если представить, что атомы занимают кубическую ячейку: \[d \approx \sqrt[3]{V_0} = \sqrt[3]{1.706 \cdot 10^{-29} \text{ м}^3} \approx 2.57 \cdot 10^{-10} \text{ м}\] Число атомных слоёв \(k\) будет равно отношению общей толщины покрытия к эффективному диаметру одного атома: \[k = \frac{h}{d} = \frac{15 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{2.57 \cdot 10^{-10} \text{ м}} \approx 5.84 \cdot 10^4\] Ответ: Число атомных слоёв серебряного покрытия толщиной 15 мкм примерно равно \(5.84 \cdot 10^4\). 7. Давление 100 кПа создаётся молекулами газа массой \(m_0 = 3 \cdot 10^{-26}\) кг при концентрации \(n = 10^{25}\) м\(^{-3}\). Чему равен средний квадрат скорости молекул? Дано: Давление \(P = 100\) кПа \( = 100 \cdot 10^3\) Па \( = 10^5\) Па Масса молекулы \(m_0 = 3 \cdot 10^{-26}\) кг Концентрация молекул \(n = 10^{25}\) м\(^{-3}\) Решение: Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов связывает давление, концентрацию молекул, массу молекулы и средний квадрат скорости: \[P = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}\] Отсюда выразим средний квадрат скорости \(\overline{v^2}\): \[\overline{v^2} = \frac{3P}{n m_0}\] Подставим значения: \[\overline{v^2} = \frac{3 \cdot 10^5 \text{ Па}}{10^{25} \text{ м}^{-3} \cdot 3 \cdot 10^{-26} \text{ кг}} = \frac{3 \cdot 10^5}{3 \cdot 10^{-1}} = 10^6 \text{ (м/с)}^2\] Ответ: Средний квадрат скорости молекул равен \(10^6\) (м/с)\(^2\). 8. Под каким давлением находится газ в сосуде, если средний квадрат скорости его молекул \(10^6\) (м/с)\(^2\), концентрация молекул \(n = 3 \cdot 10^{25}\) м\(^{-3}\), масса каждой молекулы \(m_0 = 5 \cdot 10^{-26}\) кг? Дано: Средний квадрат скорости \(\overline{v^2} = 10^6\) (м/с)\(^2\) Концентрация молекул \(n = 3 \cdot 10^{25}\) м\(^{-3}\) Масса молекулы \(m_0 = 5 \cdot 10^{-26}\) кг Решение: Используем основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов: \[P = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}\] Подставим значения: \[P = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}) \cdot (5 \cdot 10^{-26} \text{ кг}) \cdot (10^6 \text{ (м/с)}^2)\] \[P = 1 \cdot 10^{25} \cdot 5 \cdot 10^{-26} \cdot 10^6 = 5 \cdot 10^{25-26+6} = 5 \cdot 10^5 \text{ Па}\] Переведем в кПа: \[P = 5 \cdot 10^5 \text{ Па} = 500 \text{ кПа}\] Ответ: Газ находится под давлением 500 кПа. 9. В колбе объёмом 1.2 л содержится \(3 \cdot 10^{22}\) атомов гелия. Чему равна средняя кинетическая энергия каждого атома? Давление газа в колбе \(10^5\) Па. Дано: Объём колбы \(V = 1.2\) л \( = 1.2 \cdot 10^{-3}\) м\(^3\) Число атомов \(N = 3 \cdot 10^{22}\) Давление \(P = 10^5\) Па Решение: Сначала найдем концентрацию атомов \(n\): \[n = \frac{N}{V} = \frac{3 \cdot 10^{22}}{1.2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3} = 2.5 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}\] Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов также можно записать через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул \(\overline{E_k}\): \[P = \frac{2}{3} n \overline{E_k}\] Отсюда выразим среднюю кинетическую энергию: \[\overline{E_k} = \frac{3P}{2n}\] Подставим значения: \[\overline{E_k} = \frac{3 \cdot 10^5 \text{ Па}}{2 \cdot 2.5 \cdot 10^{25} \text{ м}^{-3}} = \frac{3 \cdot 10^5}{5 \cdot 10^{25}} = 0.6 \cdot 10^{-20} = 6 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}\] Ответ: Средняя кинетическая энергия каждого атома гелия равна \(6 \cdot 10^{-21}\) Дж. 10. Вычислите средний квадрат скорости движения молекул газа, если его масса 6 кг, объём 4.9 м\(^3\) и давление 200 кПа. Дано: Масса газа \(m = 6\) кг Объём газа \(V = 4.9\) м\(^3\) Давление \(P = 200\) кПа \( = 200 \cdot 10^3\) Па \( = 2 \cdot 10^5\) Па