Решение задачи: Расчет погрешности измерений

Хорошо, давайте разберем эту задачу. На изображении представлен фрагмент лабораторной работы или расчетов, связанных с измерениями и оценкой погрешностей. Сначала давайте перепишем текст и формулы, которые видны на изображении. Текст: "наименьшего деления прибора. Погрешность, обусловленная округлением показаний прибора, определяется для полу- ченных соответствующего доверительного интервала при заданной доверительной вероятности \(p = 0,95\) по формуле: \[\Delta = p \frac{w}{2}\] где \(w\) - цена наименьшего деления шкалы прибора. Из формулы для косвенных из- мерений: \(L = m = 0,205\) " Таблица: | № п/п | \(t, с\) | \(N\) | \(T = t / N, с\) | \((T - \overline{T})\) | \((T - \overline{T})^2, с^2\) | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 27.03 | 10 | 27.03 | 168.98 | 28554.2404 | | 2 | 33.11 | 11 | 33.11 | 162.9 | 26536.41 | | 3 | 44.33 | 15 | 44.33 | 151.68 | 23006.8224 | | 4 | 48.77 | 16 | 48.47 | 147.54 | 21768.0516 | | 5 | | | | | | | сред | 43.07 | 14 | 43.07 | 152.94 | 23390.6436 | Формула внизу: \[\frac{\Delta I}{I} = \sqrt{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 \left(\frac{2 \Delta T}{T}\right) \left(1 - \frac{m L^2}{I}\right) + \left(\frac{\Delta L}{L}\right) \left(1 - \frac{m L^2}{I}\right)}\] Давайте проанализируем и ответим на вопросы, которые можно извлечь из этого фрагмента.

1. Определение погрешности, обусловленной округлением показаний прибора

Текст описывает, как определяется погрешность, обусловленная округлением показаний прибора. Формула для этой погрешности: \[\Delta = p \frac{w}{2}\] где: * \(\Delta\) - погрешность, обусловленная округлением. * \(p\) - доверительная вероятность, в данном случае \(p = 0,95\). * \(w\) - цена наименьшего деления шкалы прибора. Для того чтобы вычислить эту погрешность, нам нужно знать значение \(w\). В данном фрагменте оно не указано числом, но дано его определение.

2. Анализ таблицы измерений

Таблица содержит данные измерений, вероятно, для определения периода колебаний \(T\). * **№ п/п**: Номер измерения. * **\(t, с\)**: Время, измеренное в секундах. * **\(N\)**: Количество колебаний. * **\(T = t / N, с\)**: Период колебаний, вычисленный как отношение времени к количеству колебаний. * **\((T - \overline{T})\)**: Отклонение измеренного периода от среднего значения \(\overline{T}\). * **\((T - \overline{T})^2, с^2\)**: Квадрат отклонения. Давайте проверим некоторые вычисления в таблице. **Средние значения:** * Среднее значение \(t\): \(\overline{t} = \frac{27.03 + 33.11 + 44.33 + 48.77}{4} = \frac{153.24}{4} = 38.31\) (в таблице указано 43.07, что может быть ошибкой или среднее значение взято по другому параметру, или это среднее для \(T\)). * Среднее значение \(N\): \(\overline{N} = \frac{10 + 11 + 15 + 16}{4} = \frac{52}{4} = 13\) (в таблице указано 14). Похоже, что строка "сред" в таблице относится к средним значениям для \(T\), \((T - \overline{T})\) и \((T - \overline{T})^2\), а не для \(t\) и \(N\). Давайте вычислим \(T\) для каждого измерения и среднее \(\overline{T}\): * \(T_1 = 27.03 / 10 = 2.703\) * \(T_2 = 33.11 / 11 = 3.01\) * \(T_3 = 44.33 / 15 = 2.955\) * \(T_4 = 48.77 / 16 = 3.048\) Среднее значение \(\overline{T}\) по этим данным: \(\overline{T} = \frac{2.703 + 3.01 + 2.955 + 3.048}{4} = \frac{11.716}{4} = 2.929\) Значения \(T\) в таблице (27.03, 33.11, 44.33, 48.47) не соответствуют \(t/N\). Они, скорее всего, являются значениями \(t\), а столбец \(T = t/N\) содержит другие данные. Возможно, в столбце \(T = t/N\) должны быть другие значения, или это ошибка в записи. Если предположить, что столбец "T=t/N, c" содержит уже вычисленные значения периода, то: * \(T_1 = 27.03\) * \(T_2 = 33.11\) * \(T_3 = 44.33\) * \(T_4 = 48.47\) Тогда среднее значение \(\overline{T}\) из этих данных: \(\overline{T} = \frac{27.03 + 33.11 + 44.33 + 48.47}{4} = \frac{152.94}{4} = 38.235\) В таблице указано \(\overline{T} = 43.07\) для столбца \(t, с\) и \(\overline{T} = 152.94\) для столбца \(T = t/N, с\). Это указывает на то, что столбец \(T = t/N, с\) на самом деле содержит другие данные, возможно, это не период, а что-то другое, или же это ошибка в заголовке столбца. Давайте предположим, что столбец "T=t/N, c" содержит значения, которые используются для дальнейших расчетов, и среднее значение для него \(\overline{T} = 152.94\). Тогда отклонения \((T - \overline{T})\) и их квадраты \((T - \overline{T})^2\) вычисляются относительно этого среднего. Пример для первого измерения: * \(T_1 = 27.03\) * \(\overline{T} = 152.94\) * \((T_1 - \overline{T}) = 27.03 - 152.94 = -125.91\) * \((T_1 - \overline{T})^2 = (-125.91)^2 = 15853.9281\) Значения в таблице: * \((T_1 - \overline{T}) = 168.98\) * \((T_1 - \overline{T})^2 = 28554.2404\) Это означает, что \(\overline{T}\) в расчетах для столбцов \((T - \overline{T})\) и \((T - \overline{T})^2\) не равно 152.94. Если \((T_1 - \overline{T}) = 168.98\) и \(T_1 = 27.03\), то \(\overline{T} = T_1 - 168.98 = 27.03 - 168.98 = -141.95\). Это очень странное значение для среднего периода. Возможно, столбец \((T - \overline{T})\) содержит не отклонения от среднего, а какие-то другие величины, или же это ошибка в записи. Давайте проверим, если \((T - \overline{T})^2\) является квадратом \((T - \overline{T})\): * Для первого измерения: \((168.98)^2 = 28554.2404\). Это совпадает. * Для второго измерения: \((162.9)^2 = 26536.41\). Это совпадает. * Для третьего измерения: \((151.68)^2 = 23006.8224\). Это совпадает. * Для четвертого измерения: \((147.54)^2 = 21768.0516\). Это совпадает. Это подтверждает, что столбец \((T - \overline{T})^2\) является квадратом значений из столбца \((T - \overline{T})\). Однако, сами значения в столбце \((T - \overline{T})\) и их связь с \(T\) и \(\overline{T}\) остаются неясными из-за несоответствия с заголовками.

3. Формула для относительной погрешности

Внизу страницы приведена формула для относительной погрешности \(\frac{\Delta I}{I}\). \[\frac{\Delta I}{I} = \sqrt{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 \left(\frac{2 \Delta T}{T}\right) \left(1 - \frac{m L^2}{I}\right) + \left(\frac{\Delta L}{L}\right) \left(1 - \frac{m L^2}{I}\right)}\] Эта формула выглядит как формула для расчета относительной погрешности косвенных измерений, где \(I\) - это некоторая физическая величина, зависящая от \(m\), \(T\) и \(L\). * \(\frac{\Delta m}{m}\) - относительная погрешность измерения массы. * \(\frac{\Delta T}{T}\) - относительная погрешность измерения периода. * \(\frac{\Delta L}{L}\) - относительная погрешность измерения длины. Выражение \(\left(1 - \frac{m L^2}{I}\right)\) повторяется, что может указывать на сложную зависимость \(I\) от этих параметров.

Выводы и рекомендации для школьника:

1. **Погрешность округления:** Чтобы вычислить \(\Delta\), нужно знать цену наименьшего деления шкалы прибора \(w\). Если \(w\) не дано, то можно только записать формулу. 2. **Таблица измерений:** * Внимательно проверьте заголовки столбцов. Есть несоответствия между заголовком "T=t/N, c" и значениями в этом столбце, а также между средними значениями. * Если это ваша работа, уточните, что именно означают столбцы "T=t/N, c" и "\((T - \overline{T})\)". * Если это пример, то важно понимать, что в реальной работе все данные должны быть согласованы. * Вычисления \((T - \overline{T})^2\) из \((T - \overline{T})\) выполнены верно. 3. **Формула относительной погрешности:** * Это сложная формула для расчета относительной погрешности косвенных измерений. * Для ее использования необходимо знать значения \(\Delta m, m, \Delta T, T, \Delta L, L\) и \(I\). * Важно понимать, что каждый член под корнем представляет собой вклад в общую погрешность от измерения соответствующей величины. **Как переписать в тетрадь:** 1. **Заголовок:** "Расчет погрешностей измерений" (или название вашей лабораторной работы). 2. **Текст:** Перепишите текст, как он есть, включая формулу для \(\Delta\). "Погрешность, обусловленная округлением показаний прибора, определяется для полученных соответствующего доверительного интервала при заданной доверительной вероятности \(p = 0,95\) по формуле: \[\Delta = p \frac{w}{2}\] где \(w\) - цена наименьшего деления шкалы прибора." 3. **Таблица:** Аккуратно перерисуйте таблицу. Если есть возможность, уточните значения в столбцах "T=t/N, c" и "\((T - \overline{T})\)" или сделайте примечание о возможных несоответствиях. | № п/п | \(t, с\) | \(N\) | \(T = t / N, с\) | \((T - \overline{T})\) | \((T - \overline{T})^2, с^2\) | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 27.03 | 10 | 27.03 | 168.98 | 28554.2404 | | 2 | 33.11 | 11 | 33.11 | 162.9 | 26536.41 | | 3 | 44.33 | 15 | 44.33 | 151.68 | 23006.8224 | | 4 | 48.77 | 16 | 48.47 | 147.54 | 21768.0516 | | 5 | | | | | | | сред | 43.07 | 14 | 43.07 | 152.94 | 23390.6436 | 4. **Формула относительной погрешности:** Перепишите формулу. "Формула для относительной погрешности: \[\frac{\Delta I}{I} = \sqrt{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 \left(\frac{2 \Delta T}{T}\right) \left(1 - \frac{m L^2}{I}\right) + \left(\frac{\Delta L}{L}\right) \left(1 - \frac{m L^2}{I}\right)}\]" Если у вас есть дополнительные вопросы по этой задаче или нужно что-то уточнить, пожалуйста, спрашивайте!