Задача: Груз на пружине. Решение

Хорошо, давайте решим эти задачи по механике. Задачи по механике 2.1 1. Груз какой массы нужно подвесить к пружине жёсткостью 10 Н/м, чтобы растянуть её на 6 см? Дано: Жёсткость пружины \(k = 10 \text{ Н/м}\) Растяжение пружины \(x = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}\) Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) (можно использовать \(10 \text{ м/с}^2\) для упрощения расчётов, если не указано иное) Найти: Масса груза \(m\) Решение: При подвешивании груза к пружине, сила тяжести груза \(F_т\) уравновешивается силой упругости пружины \(F_у\). Сила тяжести: \(F_т = m \cdot g\) Сила упругости (по закону Гука): \(F_у = k \cdot x\) Так как \(F_т = F_у\), то: \(m \cdot g = k \cdot x\) Выразим массу \(m\): \(m = \frac{k \cdot x}{g}\) Подставим значения: \(m = \frac{10 \text{ Н/м} \cdot 0,06 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}\) \(m = \frac{0,6 \text{ Н}}{9,8 \text{ м/с}^2}\) \(m \approx 0,0612 \text{ кг}\) Если использовать \(g = 10 \text{ м/с}^2\): \(m = \frac{10 \text{ Н/м} \cdot 0,06 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}\) \(m = 0,06 \text{ кг}\) Ответ: Нужно подвесить груз массой примерно 0,0612 кг (или 61,2 грамма). 2. Найти импульс тела массой 1 кг, движущегося со скоростью 2 м/с. Дано: Масса тела \(m = 1 \text{ кг}\) Скорость тела \(v = 2 \text{ м/с}\) Найти: Импульс тела \(p\) Решение: Импульс тела (количество движения) определяется как произведение массы тела на его скорость: \(p = m \cdot v\) Подставим значения: \(p = 1 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}\) \(p = 2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Ответ: Импульс тела равен 2 кг·м/с. 3. Насколько изменится импульс автомобиля массой 1 т при изменении его скорости от 54 до 72 км/ч? Дано: Масса автомобиля \(m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}\) Начальная скорость \(v_1 = 54 \text{ км/ч}\) Конечная скорость \(v_2 = 72 \text{ км/ч}\) Найти: Изменение импульса \(\Delta p\) Решение: Сначала переведём скорости из км/ч в м/с. Для этого нужно разделить значение в км/ч на 3,6. \(v_1 = \frac{54}{3,6} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}\) \(v_2 = \frac{72}{3,6} \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}\) Начальный импульс: \(p_1 = m \cdot v_1\) \(p_1 = 1000 \text{ кг} \cdot 15 \text{ м/с} = 15000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Конечный импульс: \(p_2 = m \cdot v_2\) \(p_2 = 1000 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с} = 20000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Изменение импульса: \(\Delta p = p_2 - p_1\) \(\Delta p = 20000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 15000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) \(\Delta p = 5000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Ответ: Импульс автомобиля изменится на 5000 кг·м/с. 4. Железнодорожный вагон массой 35 т подъезжает к стоящему на том же пути неподвижному вагону массой 28 т и автоматически сцепляется с ним. После сцепки вагоны движутся прямолинейно со скоростью 0,5 м/с. Какова была скорость вагона массой 35 т перед сцепкой? Дано: Масса первого вагона \(m_1 = 35 \text{ т} = 35000 \text{ кг}\) Масса второго вагона \(m_2 = 28 \text{ т} = 28000 \text{ кг}\) Начальная скорость второго вагона \(v_2 = 0 \text{ м/с}\) (неподвижный) Скорость обоих вагонов после сцепки \(V = 0,5 \text{ м/с}\) Найти: Начальная скорость первого вагона \(v_1\) Решение: Это задача на закон сохранения импульса. До сцепки импульс системы состоял только из импульса первого вагона, так как второй был неподвижен. После сцепки вагоны движутся как единое целое. Импульс системы до сцепки: \(P_{до} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\) \(P_{до} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot 0\) \(P_{до} = m_1 \cdot v_1\) Импульс системы после сцепки: \(P_{после} = (m_1 + m_2) \cdot V\) По закону сохранения импульса: \(P_{до} = P_{после}\) \(m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot V\) Выразим \(v_1\): \(v_1 = \frac{(m_1 + m_2) \cdot V}{m_1}\) Подставим значения: \(v_1 = \frac{(35000 \text{ кг} + 28000 \text{ кг}) \cdot 0,5 \text{ м/с}}{35000 \text{ кг}}\) \(v_1 = \frac{63000 \text{ кг} \cdot 0,5 \text{ м/с}}{35000 \text{ кг}}\) \(v_1 = \frac{31500 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{35000 \text{ кг}}\) \(v_1 = 0,9 \text{ м/с}\) Ответ: Скорость вагона массой 35 т перед сцепкой была 0,9 м/с. 5. Какую скорость получит модель ракеты, если масса её оболочки равна 300 г, масса пороха в ней 100 г, а газы вырываются из сопла со скоростью 100 м/с. Дано: Масса оболочки ракеты \(m_р = 300 \text{ г} = 0,3 \text{ кг}\) Масса пороха \(m_п = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}\) Скорость истечения газов \(v_г = 100 \text{ м/с}\) Найти: Скорость ракеты \(v_р\) Решение: Это задача на реактивное движение, основанная на законе сохранения импульса. Изначально ракета с порохом покоится, поэтому общий импульс системы равен нулю. После сгорания пороха и истечения газов, ракета и газы движутся в противоположных направлениях, сохраняя суммарный импульс равным нулю. Масса газов, которые вырываются, равна массе пороха: \(m_г = m_п = 0,1 \text{ кг}\). Масса ракеты после истечения газов (оболочка): \(m_р = 0,3 \text{ кг}\). По закону сохранения импульса: \(P_{до} = P_{после}\) \(0 = m_р \cdot v_р + m_г \cdot (-v_г)\) (мы выбираем направление движения ракеты как положительное, тогда газы движутся в отрицательном направлении) \(0 = m_р \cdot v_р - m_г \cdot v_г\) Выразим скорость ракеты \(v_р\): \(m_р \cdot v_р = m_г \cdot v_г\) \(v_р = \frac{m_г \cdot v_г}{m_р}\) Подставим значения: \(v_р = \frac{0,1 \text{ кг} \cdot 100 \text{ м/с}}{0,3 \text{ кг}}\) \(v_р = \frac{10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0,3 \text{ кг}}\) \(v_р \approx 33,33 \text{ м/с}\) Ответ: Модель ракеты получит скорость примерно 33,33 м/с. 6. Пуля массой 9 г, летящая со скоростью 600 м/с, попадает в ящик с песком массой 5 кг, висящий на верёвке длиной \(l = 2 \text{ м}\), прикреплённой к потолку, и застревает в нём. Какая часть энергии пули израсходована на деформацию ящика? На какой максимальный угол отклонится верёвка в результате выстрела? Дано: Масса пули \(m_п = 9 \text{ г} = 0,009 \text{ кг}\) Скорость пули \(v_п = 600 \text{ м/с}\) Масса ящика с песком \(m_я = 5 \text{ кг}\) Длина верёвки \(l = 2 \text{ м}\) Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: 1. Часть энергии пули, израсходованная на деформацию ящика (потеря энергии). 2. Максимальный угол отклонения верёвки \(\alpha\). Решение: Эта задача состоит из двух частей: 1. Неупругое столкновение (пуля застревает в ящике) – применяется закон сохранения импульса. При этом часть кинетической энергии теряется (идет на деформацию, нагрев и т.д.). 2. Подъём ящика с пулей на некоторую высоту – применяется закон сохранения энергии. Часть 1: Неупругое столкновение Пусть \(V\) – скорость ящика с пулей сразу после столкновения. По закону сохранения импульса: \(m_п \cdot v_п + m_я \cdot 0 = (m_п + m_я) \cdot V\) \(m_п \cdot v_п = (m_п + m_я) \cdot V\) Выразим \(V\): \(V = \frac{m_п \cdot v_п}{m_п + m_я}\) Подставим значения: \(V = \frac{0,009 \text{ кг} \cdot 600 \text{ м/с}}{0,009 \text{ кг} + 5 \text{ кг}}\) \(V = \frac{5,4 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{5,009 \text{ кг}}\) \(V \approx 1,078 \text{ м/с}\) Теперь найдём кинетическую энергию до столкновения и после. Начальная кинетическая энергия (только пули): \(E_{к1} = \frac{1}{2} m_п v_п^2\) \(E_{к1} = \frac{1}{2} \cdot 0,009 \text{ кг} \cdot (600 \text{ м/с})^2\) \(E_{к1} = \frac{1}{2} \cdot 0,009 \text{ кг} \cdot 360000 \text{ м}^2/\text{с}^2\) \(E_{к1} = 1620 \text{ Дж}\) Конечная кинетическая энергия (ящика с пулей): \(E_{к2} = \frac{1}{2} (m_п + m_я) V^2\) \(E_{к2} = \frac{1}{2} \cdot (0,009 \text{ кг} + 5 \text{ кг}) \cdot (1,078 \text{ м/с})^2\) \(E_{к2} = \frac{1}{2} \cdot 5,009 \text{ кг} \cdot 1,162 \text{ м}^2/\text{с}^2\) \(E_{к2} \approx 2,91 \text{ Дж}\) Потеря энергии (израсходованная на деформацию): \(\Delta E = E_{к1} - E_{к2}\) \(\Delta E = 1620 \text{ Дж} - 2,91 \text{ Дж}\) \(\Delta E = 1617,09 \text{ Дж}\) Часть энергии пули, израсходованная на деформацию, можно выразить как отношение потерянной энергии к начальной энергии: \(\frac{\Delta E}{E_{к1}} = \frac{1617,09 \text{ Дж}}{1620 \text{ Дж}} \approx 0,9982\) или 99,82%. Это означает, что почти вся кинетическая энергия пули ушла на деформацию и нагрев. Часть 2: Подъём ящика с пулей После столкновения ящик с пулей начинает двигаться со скоростью \(V\) и поднимается на высоту \(h\). В этот момент вся кинетическая энергия \(E_{к2}\) переходит в потенциальную энергию. \(E_{к2} = (m_п + m_я) \cdot g \cdot h\) Выразим высоту \(h\): \(h = \frac{E_{к2}}{(m_п + m_я) \cdot g}\) \(h = \frac{2,91 \text{ Дж}}{(5,009 \text{ кг}) \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\) \(h = \frac{2,91 \text{ Дж}}{49,0882 \text{ Н}}\) \(h \approx 0,0593 \text{ м}\) Теперь найдём угол отклонения \(\alpha\). Из геометрии маятника: \(h = l - l \cdot \cos \alpha\) \(h = l (1 - \cos \alpha)\) Выразим \(\cos \alpha\): \(1 - \cos \alpha = \frac{h}{l}\) \(\cos \alpha = 1 - \frac{h}{l}\) Подставим значения: \(\cos \alpha = 1 - \frac{0,0593 \text{ м}}{2 \text{ м}}\) \(\cos \alpha = 1 - 0,02965\) \(\cos \alpha = 0,97035\) Найдём \(\alpha\): \(\alpha = \arccos(0,97035)\) \(\alpha \approx 14,04^\circ\) Ответ: 1. На деформацию ящика израсходовано примерно 99,82% энергии пули (или 1617,09 Дж). 2. Верёвка отклонится на максимальный угол примерно 14,04°. 7. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 3 см. Какой путь от положения равновесия пройдёт груз за время, равное T/4, T/2, 3T/4, T? Дано: Амплитуда колебаний \(A = 3 \text{ см}\) Время: \(T/4, T/2, 3T/4, T\) (где \(T\) - период колебаний) Найти: Путь \(S\) от положения равновесия за указанные промежутки времени. Решение: При гармонических колебаниях груз движется от положения равновесия до максимального отклонения (амплитуды) и обратно. Путь – это общая длина траектории, пройденная телом. Рассмотрим движение груза, начиная от положения равновесия. * За время \(T