Решение задачи: определение массы груза, растягивающего пружину

Хорошо, давайте решим эти задачи по механике. Задачи по механике 2.1 1. Груз какой массы нужно подвесить к пружине жёсткостью 10 Н/м, чтобы растянуть её на 6 см? Дано: Жёсткость пружины \(k = 10 \text{ Н/м}\) Растяжение пружины \(x = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}\) Ускорение свободного падения \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\) (примем стандартное значение) Найти: Масса груза \(m\) Решение: При подвешивании груза к пружине, сила тяжести груза \(F_т\) уравновешивается силой упругости пружины \(F_у\). Сила тяжести: \(F_т = m \cdot g\) Сила упругости (по закону Гука): \(F_у = k \cdot x\) Так как \(F_т = F_у\), то \(m \cdot g = k \cdot x\) Выразим массу \(m\): \(m = \frac{k \cdot x}{g}\) Подставим значения: \(m = \frac{10 \text{ Н/м} \cdot 0,06 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}\) \(m = \frac{0,6 \text{ Н}}{9,8 \text{ м/с}^2}\) \(m \approx 0,0612 \text{ кг}\) Ответ: Нужно подвесить груз массой примерно 0,0612 кг (или 61,2 грамма). 2. Найти импульс тела массой 1 кг, движущегося со скоростью 2 м/с. Дано: Масса тела \(m = 1 \text{ кг}\) Скорость тела \(v = 2 \text{ м/с}\) Найти: Импульс тела \(p\) Решение: Импульс тела (количество движения) определяется формулой: \(p = m \cdot v\) Подставим значения: \(p = 1 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}\) \(p = 2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Ответ: Импульс тела равен 2 кг·м/с. 3. Насколько изменится импульс автомобиля массой 1 т при изменении его скорости от 54 до 72 км/ч? Дано: Масса автомобиля \(m = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}\) Начальная скорость \(v_1 = 54 \text{ км/ч}\) Конечная скорость \(v_2 = 72 \text{ км/ч}\) Найти: Изменение импульса \(\Delta p\) Решение: Сначала переведём скорости из км/ч в м/с: \(1 \text{ км/ч} = \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1}{3,6} \text{ м/с}\) \(v_1 = 54 \text{ км/ч} = \frac{54}{3,6} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}\) \(v_2 = 72 \text{ км/ч} = \frac{72}{3,6} \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}\) Начальный импульс: \(p_1 = m \cdot v_1\) Конечный импульс: \(p_2 = m \cdot v_2\) Изменение импульса: \(\Delta p = p_2 - p_1 = m \cdot v_2 - m \cdot v_1 = m \cdot (v_2 - v_1)\) Подставим значения: \(\Delta p = 1000 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с} - 15 \text{ м/с})\) \(\Delta p = 1000 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}\) \(\Delta p = 5000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) Ответ: Импульс автомобиля изменится на 5000 кг·м/с. 4. Железнодорожный вагон массой 35 т подъезжает к стоящему на том же пути неподвижному вагону массой 28 т и автоматически сцепляется с ним. После сцепки вагоны движутся прямолинейно со скоростью 0,5 м/с. Какова была скорость вагона массой 35 т перед сцепкой? Дано: Масса первого вагона \(m_1 = 35 \text{ т} = 35000 \text{ кг}\) Масса второго вагона \(m_2 = 28 \text{ т} = 28000 \text{ кг}\) Начальная скорость второго вагона \(v_2 = 0 \text{ м/с}\) (неподвижный) Скорость сцепленных вагонов \(V = 0,5 \text{ м/с}\) Найти: Начальная скорость первого вагона \(v_1\) Решение: Это задача на закон сохранения импульса. До сцепки импульс системы состоял только из импульса первого вагона, так как второй был неподвижен. После сцепки вагоны движутся как единое целое. Начальный импульс системы: \(P_{нач} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\) Так как \(v_2 = 0\), то \(P_{нач} = m_1 \cdot v_1\) Конечный импульс системы: \(P_{кон} = (m_1 + m_2) \cdot V\) По закону сохранения импульса: \(P_{нач} = P_{кон}\) \(m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot V\) Выразим \(v_1\): \(v_1 = \frac{(m_1 + m_2) \cdot V}{m_1}\) Подставим значения: \(v_1 = \frac{(35000 \text{ кг} + 28000 \text{ кг}) \cdot 0,5 \text{ м/с}}{35000 \text{ кг}}\) \(v_1 = \frac{63000 \text{ кг} \cdot 0,5 \text{ м/с}}{35000 \text{ кг}}\) \(v_1 = \frac{31500 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{35000 \text{ кг}}\) \(v_1 = 0,9 \text{ м/с}\) Ответ: Скорость вагона массой 35 т перед сцепкой была 0,9 м/с. 5. Какую скорость получит модель ракеты, если масса её оболочки равна 300 г, масса пороха в ней 100 г, а газы вырываются из сопла со скоростью 100 м/с. Дано: Масса оболочки ракеты \(m_р = 300 \text{ г} = 0,3 \text{ кг}\) Масса пороха \(m_п = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}\) Скорость истечения газов \(v_г = 100 \text{ м/с}\) Найти: Скорость ракеты \(v_р\) Решение: Это задача на закон сохранения импульса для системы "ракета + газы". До старта системы покоилась, её суммарный импульс был равен нулю. После старта ракета движется в одну сторону, а газы - в противоположную. Начальный импульс системы: \(P_{нач} = 0\) Конечный импульс системы: \(P_{кон} = m_р \cdot v_р + m_г \cdot v_г'\) Здесь \(m_г\) - масса вылетевших газов, которая равна массе пороха \(m_п\). Скорость газов \(v_г'\) направлена в противоположную сторону от скорости ракеты, поэтому её можно взять со знаком минус, если скорость ракеты положительна. По закону сохранения импульса: \(P_{нач} = P_{кон}\) \(0 = m_р \cdot v_р - m_п \cdot v_г\) (мы взяли \(v_г\) как модуль скорости газов, а знак минус указывает на противоположное направление) \(m_р \cdot v_р = m_п \cdot v_г\) Выразим \(v_р\): \(v_р = \frac{m_п \cdot v_г}{m_р}\) Подставим значения: \(v_р = \frac{0,1 \text{ кг} \cdot 100 \text{ м/с}}{0,3 \text{ кг}}\) \(v_р = \frac{10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0,3 \text{ кг}}\) \(v_р \approx 33,33 \text{ м/с}\) Ответ: Модель ракеты получит скорость примерно 33,33 м/с. 6. Пуля массой 9 г, летящая со скоростью 600 м/с, попадает в ящик с песком массой 5 кг, висящий на верёвке длиной \(l = 2 \text{ м}\), прикреплённой к потолку, и застревает в нём. Какая часть энергии пули израсходована на деформацию ящика? На какой максимальный угол отклонится верёвка в результате выстрела? Дано: Масса пули \(m_п = 9 \text{ г} = 0,009 \text{ кг}\) Скорость пули \(v_п = 600 \text{ м/с}\) Масса ящика с песком \(m_я = 5 \text{ кг}\) Длина верёвки \(l = 2 \text{ м}\) Ускорение свободного падения \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\) Найти: 1. Часть энергии пули, израсходованная на деформацию ящика (потеря энергии \(\Delta E\)) 2. Максимальный угол отклонения верёвки \(\alpha\) Решение: Эта задача состоит из двух частей: 1. Неупругое столкновение (пуля застревает в ящике) - применяется закон сохранения импульса. 2. Подъём ящика с пулей на некоторую высоту - применяется закон сохранения энергии. Часть 1: Неупругое столкновение Пусть \(V\) - скорость ящика с пулей сразу после столкновения. Начальный импульс системы "пуля + ящик": \(P_{нач} = m_п \cdot v_п + m_я \cdot 0\) (ящик неподвижен) Конечный импульс системы: \(P_{кон} = (m_п + m_я) \cdot V\) По закону сохранения импульса: \(m_п \cdot v_п = (m_п + m_я) \cdot V\) Выразим \(V\): \(V = \frac{m_п \cdot v_п}{m_п + m_я}\) Подставим значения: \(V = \frac{0,009 \text{ кг} \cdot 600 \text{ м/с}}{0,009 \text{ кг} + 5 \text{ кг}}\) \(V = \frac{5,4 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{5,009 \text{ кг}}\) \(V \approx 1,078 \text{ м/с}\) Теперь найдём начальную кинетическую энергию пули \(E_{к.п}\) и кинетическую энергию системы после столкновения \(E_{к.сист}\). \(E_{к.п} = \frac{1}{2} m_п v_п^2\) \(E_{к.п} = \frac{1}{2} \cdot 0,009 \text{ кг} \cdot (600 \text{ м/с})^2\) \(E_{к.п} = \frac{1}{2} \cdot 0,009 \text{ кг} \cdot 360000 \text{ м}^2/\text{с}^2\) \(E_{к.п} = 1620 \text{ Дж}\) \(E_{к.сист} = \frac{1}{2} (m_п + m_я) V^2\) \(E_{к.сист} = \frac{1}{2} \cdot 5,009 \text{ кг} \cdot (1,078 \text{ м/с})^2\) \(E_{к.сист} = \frac{1}{2} \cdot 5,009 \text{ кг} \cdot 1,162 \text{ м}^2/\text{с}^2\) \(E_{к.сист} \approx 2,91 \text{ Дж}\) Потеря энергии (израсходованная на деформацию и нагрев): \(\Delta E = E_{к.п} - E_{к.сист}\) \(\Delta E = 1620 \text{ Дж} - 2,91 \text{ Дж}\) \(\Delta E = 1617,09 \text{ Дж}\) Часть энергии пули, израсходованная на деформацию, в процентах: \(\frac{\Delta E}{E_{к.п}} \cdot 100\% = \frac{1617,09 \text{ Дж}}{1620 \text{ Дж}} \cdot 100\% \approx 99,82\%\) Часть 2: Подъём ящика с пулей После столкновения система "ящик + пуля" начинает двигаться со скоростью \(V\) и поднимается на высоту \(h\), при этом её кинетическая энергия переходит в потенциальную. По закону сохранения энергии: \(\frac{1}{2} (m_п + m_я) V^2 = (m_п + m_я) g h\) \(h = \frac{V^2}{2g}\) Подставим значения: \(h = \frac{(1,078 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\) \(h = \frac{1,162 \text{ м}^2/\text{с}^2}{19,6 \text{ м/с}^2}\) \(h \approx 0,0593 \text{ м}\) Теперь найдём угол отклонения \(\alpha\). Из геометрии (рассмотрим треугольник, образованный верёвкой в начальном положении, верёвкой в отклоненном положении и горизонтальной линией, проходящей через центр масс в начальном положении): \(h = l - l \cos \alpha = l (1 - \cos \alpha)\) \(1 - \cos \alpha = \frac{h}{l}\) \(\cos \alpha = 1 - \frac{h}{l}\) Подставим значения: \(\cos \alpha = 1 - \frac{0,0593 \text{ м}}{2 \text{ м}}\) \(\cos \alpha = 1 - 0,02965\) \(\cos \alpha = 0,97035\) \(\alpha = \arccos(0,97035)\) \(\alpha \approx 14,04^\circ\) Ответ: 1. На деформацию ящика израсходовано примерно 99,82% энергии пули (или 1617,09 Дж). 2. Верёвка отклонится на максимальный угол примерно 14,04°. 7. Амплитуда колебаний груза на пружине равна 3 см. Какой путь от положения равновесия пройдёт груз за время, равное T/4, T/2, 3T/4, T? Дано: Амплитуда колебаний \(A = 3 \text{ см}\) Время: \(T/4, T/2, 3T/4, T\) (где \(T\) - период колебаний) Найти: Путь \(S\) за указанные промежутки времени от положения равновесия. Решение: Груз, совершающий гармонические колебания, движется по синусоидальному или косинусоидальному закону. Положение равновесия - это точка, где смещение равно нулю. Путь - это общая длина траектории, пройденная телом. Рассмотрим движение груза, начиная из положения равновесия (например, движется в положительном направлении). * За время \(T/4\): Груз пройдёт от положения равновесия до максимального отклонения (амплитуды). Путь \(S_{T/4} = A\) \(S_{T/4} = 3 \text{ см}\) * За время \(T/2\): Груз пройдёт от