Решение: Закон Био-Савара-Лапласа и циркуляция магнитного поля

Закон Био-Савара-Лапласа Закон Био-Савара-Лапласа (часто сокращённо называют законом Био-Савара) — это один из основных законов магнитостатики, который позволяет рассчитать индукцию магнитного поля, создаваемого постоянным электрическим током. Он является аналогом закона Кулона в электростатике, но для магнитных полей, создаваемых токами. Суть закона Закон Био-Савара-Лапласа позволяет найти вектор магнитной индукции \(\vec{B}\) в любой точке пространства, создаваемый элементарным участком проводника с током. Затем, чтобы найти полное поле от всего проводника, нужно проинтегрировать вклады от всех таких элементарных участков. Формулировка закона Рассмотрим элементарный участок проводника длиной \(d\vec{l}\), по которому течёт ток \(I\). Этот участок создаёт в точке \(P\), находящейся на расстоянии \(\vec{r}\) от него, элементарное магнитное поле \(d\vec{B}\). Математическая запись закона Био-Савара-Лапласа: \[ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} \] или, что то же самое, если использовать единичный вектор \(\vec{e}_r = \frac{\vec{r}}{r}\): \[ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{e}_r]}{r^2} \] где: * \(d\vec{B}\) — вектор элементарной магнитной индукции, создаваемый элементом тока. * \(\mu_0\) — магнитная постоянная (проницаемость вакуума), равная \(4\pi \times 10^{-7}\) Тл·м/А. * \(I\) — сила тока, протекающего по проводнику. * \(d\vec{l}\) — вектор элемента длины проводника. Его направление совпадает с направлением тока. * \(\vec{r}\) — радиус-вектор, проведённый от элемента \(d\vec{l}\) к точке \(P\), где определяется поле. * \(r\) — модуль радиус-вектора \(\vec{r}\) (расстояние от элемента тока до точки \(P\)). * \([d\vec{l} \times \vec{r}]\) — векторное произведение векторов \(d\vec{l}\) и \(\vec{r}\). Направление вектора \(d\vec{B}\) Направление вектора \(d\vec{B}\) определяется правилом векторного произведения: * Вектор \(d\vec{B}\) перпендикулярен плоскости, образованной векторами \(d\vec{l}\) и \(\vec{r}\). * Направление \(d\vec{B}\) можно найти по правилу правой руки: если большой палец правой руки указывает направление тока \(I\) (и \(d\vec{l}\)), а остальные пальцы обхватывают проводник, то направление закручивания пальцев покажет направление вектора \(\vec{B}\) (и \(d\vec{B}\)). Модуль вектора \(d\vec{B}\) Модуль вектора \(d\vec{B}\) можно записать так: \[ dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin\alpha}{r^2} \] где \(\alpha\) — угол между вектором \(d\vec{l}\) и радиус-вектором \(\vec{r}\). Принцип суперпозиции Для нахождения полного магнитного поля \(\vec{B}\) от всего проводника (или системы проводников) необходимо проинтегрировать элементарные вклады \(d\vec{B}\) по всей длине проводника: \[ \vec{B} = \oint_L d\vec{B} = \oint_L \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I [d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3} \] где интеграл берётся по всей длине \(L\) проводника, создающего поле. Важные особенности и применение 1. **Принцип суперпозиции:** Магнитные поля подчиняются принципу суперпозиции. Это означает, что если поле создаётся несколькими токами, то результирующее поле в данной точке равно векторной сумме полей, создаваемых каждым током в отдельности. 2. **Применимость:** Закон Био-Савара-Лапласа универсален и применим для расчёта магнитного поля от проводников любой формы (прямых, круговых, спиральных и т.д.). 3. **Связь с законом Ампера:** Закон Био-Савара-Лапласа и закон Ампера являются двумя разными, но взаимосвязанными способами описания магнитного поля, создаваемого токами. Закон Ампера удобен для расчёта поля в случаях с высокой симметрией, а закон Био-Савара-Лапласа — для более сложных конфигураций. 4. **Отсутствие магнитных монополей:** Закон Био-Савара-Лапласа, как и закон Ампера, косвенно подтверждает отсутствие магнитных монополей, поскольку магнитное поле всегда создаётся движущимися зарядами (токами) и имеет вихревой характер. Пример использования: Магнитное поле прямого бесконечного проводника с током Хотя для прямого бесконечного проводника удобнее использовать закон Ампера, закон Био-Савара-Лапласа также позволяет получить тот же результат. Для точки, находящейся на расстоянии \(R\) от прямого бесконечного проводника с током \(I\), модуль магнитной индукции равен: \[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \] Направление поля при этом будет по окружности вокруг проводника, определяемое правилом правой руки. Таким образом, закон Био-Савара-Лапласа является мощным инструментом для анализа магнитных полей, позволяющим точно рассчитать их индукцию, зная распределение токов.