Решение задачи: Площадь полной поверхности цилиндра

Решение задачи: Дано: Площадь основания цилиндра \( S_{осн} = 9\pi \). Угол, под которым виден диаметр нижнего основания из центра верхнего основания, равен \( 90^\circ \). Найти: \( \frac{S_{бок}}{\pi} \). 1. Найдем радиус основания \( R \). Формула площади круга: \( S_{осн} = \pi R^2 \). \[ \pi R^2 = 9\pi \] \[ R^2 = 9 \] \[ R = 3 \] Следовательно, диаметр нижнего основания \( D = 2R = 6 \). 2. Найдем высоту цилиндра \( H \). Рассмотрим треугольник, образованный центром верхнего основания (точка \( O_1 \)) и концами диаметра нижнего основания (точки \( A \) и \( B \)). Этот треугольник \( A O_1 B \) является равнобедренным (так как \( O_1 A = O_1 B \) как наклонные с равными проекциями). По условию угол при вершине \( \angle A O_1 B = 90^\circ \). Высота цилиндра \( H = O_1 O \) (где \( O \) — центр нижнего основания) является медианой и высотой в этом прямоугольном равнобедренном треугольнике. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине: \[ H = \frac{AB}{2} = \frac{D}{2} = R \] Таким образом, \( H = 3 \). 3. Вычислим площадь боковой поверхности \( S_{бок} \). Формула: \( S_{бок} = 2\pi RH \). \[ S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 3 = 18\pi \] 4. В ответе необходимо указать площадь, деленную на \( \pi \). \[ \frac{18\pi}{\pi} = 18 \] Ответ: 18