Задача 1
Пружинное ружье выстреливает шариком массой 20 г. На какую максимальную высоту поднимется шарик, если пружина сжата на 0,1 м, а жесткость пружины равна 400 Н/м?
Решение:
В этой задаче энергия сжатой пружины превращается в потенциальную энергию шарика на максимальной высоте. Мы пренебрегаем сопротивлением воздуха.
1. Запишем известные величины:
- Масса шарика \(m = 20 \text{ г} = 0,02 \text{ кг}\) (переводим граммы в килограммы).
- Сжатие пружины \(x = 0,1 \text{ м}\).
- Жесткость пружины \(k = 400 \text{ Н/м}\).
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\).
2. Запишем формулу потенциальной энергии сжатой пружины:
\[E_п = \frac{k \cdot x^2}{2}\]
3. Запишем формулу потенциальной энергии шарика на высоте:
\[E_h = m \cdot g \cdot h\]
4. Применим закон сохранения энергии:
Энергия пружины полностью переходит в потенциальную энергию шарика на максимальной высоте:
\[E_п = E_h\]
\[\frac{k \cdot x^2}{2} = m \cdot g \cdot h\]
5. Выразим высоту \(h\):
\[h = \frac{k \cdot x^2}{2 \cdot m \cdot g}\]
6. Подставим значения и рассчитаем:
\[h = \frac{400 \text{ Н/м} \cdot (0,1 \text{ м})^2}{2 \cdot 0,02 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}\]
\[h = \frac{400 \cdot 0,01}{0,4}\]
\[h = \frac{4}{0,4}\]
\[h = 10 \text{ м}\]
Ответ: Шарик поднимется на максимальную высоту 10 м.
***Задача 2
Мяч бросают с высоты 1500 см вертикально вниз со скоростью 8 м/с, после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх. На какую максимальную высоту поднимется мяч?
Решение:
При абсолютно упругом ударе о пол, мяч отскакивает с той же скоростью, с которой ударился о пол. Также, при абсолютно упругом ударе, механическая энергия сохраняется. Это значит, что мяч поднимется на ту же высоту, с которой его бросили, если бы не было начальной скорости. Но у нас есть начальная скорость, поэтому мы должны учесть полную энергию в начальный момент.
1. Запишем известные величины:
- Начальная высота \(h_0 = 1500 \text{ см} = 15 \text{ м}\) (переводим сантиметры в метры).
- Начальная скорость \(v_0 = 8 \text{ м/с}\).
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\).
2. Запишем полную механическую энергию мяча в начальный момент (перед броском):
Полная энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии:
\[E_{нач} = E_{п,нач} + E_{к,нач}\]
\[E_{нач} = m \cdot g \cdot h_0 + \frac{m \cdot v_0^2}{2}\]
3. Запишем полную механическую энергию мяча в конечный момент (на максимальной высоте после отскока):
На максимальной высоте скорость мяча равна нулю, поэтому вся энергия будет потенциальной:
\[E_{кон} = E_{п,кон} + E_{к,кон}\]
\[E_{кон} = m \cdot g \cdot h_{max} + 0\]
\[E_{кон} = m \cdot g \cdot h_{max}\]
4. Применим закон сохранения энергии:
Поскольку удар абсолютно упругий и сопротивление воздуха не учитывается, полная механическая энергия сохраняется:
\[E_{нач} = E_{кон}\]
\[m \cdot g \cdot h_0 + \frac{m \cdot v_0^2}{2} = m \cdot g \cdot h_{max}\]
5. Сократим массу \(m\) (она есть в каждом слагаемом):
\[g \cdot h_0 + \frac{v_0^2}{2} = g \cdot h_{max}\]
6. Выразим максимальную высоту \(h_{max}\):
\[h_{max} = h_0 + \frac{v_0^2}{2 \cdot g}\]
7. Подставим значения и рассчитаем:
\[h_{max} = 15 \text{ м} + \frac{(8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2}\]
\[h_{max} = 15 + \frac{64}{20}\]
\[h_{max} = 15 + 3,2\]
\[h_{max} = 18,2 \text{ м}\]
Ответ: Мяч поднимется на максимальную высоту 18,2 м.
***Задача 3
Тело падает без начальной скорости с высоты 20 м. Найти его скорость перед столкновением с землей.
Решение:
В этой задаче потенциальная энергия тела на начальной высоте полностью превращается в кинетическую энергию перед столкновением с землей. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
1. Запишем известные величины:
- Начальная высота \(h = 20 \text{ м}\).
- Начальная скорость \(v_0 = 0 \text{ м/с}\) (падает без начальной скорости).
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\).
2. Запишем полную механическую энергию тела в начальный момент (на высоте \(h\)):
Поскольку начальная скорость равна нулю, вся энергия потенциальная:
\[E_{нач} = E_{п,нач} + E_{к,нач}\]
\[E_{нач} = m \cdot g \cdot h + 0\]
\[E_{нач} = m \cdot g \cdot h\]
3. Запишем полную механическую энергию тела в конечный момент (перед столкновением с землей):
На уровне земли высота равна нулю, поэтому вся энергия кинетическая:
\[E_{кон} = E_{п,кон} + E_{к,кон}\]
\[E_{кон} = 0 + \frac{m \cdot v^2}{2}\]
\[E_{кон} = \frac{m \cdot v^2}{2}\]
4. Применим закон сохранения энергии:
\[E_{нач} = E_{кон}\]
\[m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^2}{2}\]
5. Сократим массу \(m\):
\[g \cdot h = \frac{v^2}{2}\]
6. Выразим скорость \(v\):
\[v^2 = 2 \cdot g \cdot h\]
\[v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\]
7. Подставим значения и рассчитаем:
\[v = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}}\]
\[v = \sqrt{400}\]
\[v = 20 \text{ м/с}\]
Ответ: Скорость тела перед столкновением с землей равна 20 м/с.
***Задача 4
На какой высоте находилась воздушная цель, если для достижения этой высоты скорость снаряда, запущенного с поверхности Земли, была равна 300 м/с?
Решение:
В этой задаче кинетическая энергия снаряда в момент запуска с поверхности Земли полностью превращается в потенциальную энергию на максимальной высоте. Мы пренебрегаем сопротивлением воздуха.
1. Запишем известные величины:
- Скорость снаряда при запуске \(v = 300 \text{ м/с}\).
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\).
2. Запишем полную механическую энергию снаряда в начальный момент (на поверхности Земли):
На поверхности Земли высота равна нулю, поэтому вся энергия кинетическая:
\[E_{нач} = E_{п,нач} + E_{к,нач}\]
\[E_{нач} = 0 + \frac{m \cdot v^2}{2}\]
\[E_{нач} = \frac{m \cdot v^2}{2}\]
3. Запишем полную механическую энергию снаряда в конечный момент (на максимальной высоте):
На максимальной высоте скорость снаряда равна нулю, поэтому вся энергия потенциальная:
\[E_{кон} = E_{п,кон} + E_{к,кон}\]
\[E_{кон} = m \cdot g \cdot h + 0\]
\[E_{кон} = m \cdot g \cdot h\]
4. Применим закон сохранения энергии:
\[E_{нач} = E_{кон}\]
\[\frac{m \cdot v^2}{2} = m \cdot g \cdot h\]
5. Сократим массу \(m\):
\[\frac{v^2}{2} = g \cdot h\]
6. Выразим высоту \(h\):
\[h = \frac{v^2}{2 \cdot g}\]
7. Подставим значения и рассчитаем:
\[h = \frac{(300 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2}\]
\[h = \frac{90000}{20}\]
\[h = 4500 \text{ м}\]
Ответ: Воздушная цель находилась на высоте 4500 м.
***Задача 5
Мальчик подъезжает на самокате к спуску, скорость мальчика в начале спуска 4 м/с. Высота спуска 4,25 м. Найти скорость мальчика в конце спуска.
Ответ округлите до сотых
Решение:
В этой задаче мы используем закон сохранения энергии. В начале спуска у мальчика есть и кинетическая, и потенциальная энергия. В конце спуска вся потенциальная энергия превращается в кинетическую (если считать уровень конца спуска за нулевой уровень потенциальной энергии).
1. Запишем известные величины:
- Начальная скорость \(v_0 = 4 \text{ м/с}\).
- Высота спуска \(h = 4,25 \text{ м}\).
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\).
2. Запишем полную механическую энергию мальчика в начале спуска:
\[E_{нач} = E_{п,нач} + E_{к,нач}\]
\[E_{нач} = m \cdot g \cdot h + \frac{m \cdot v_0^2}{2}\]
3. Запишем полную механическую энергию мальчика в конце спуска:
В конце спуска высота равна нулю, поэтому вся энергия кинетическая:
\[E_{кон} = E_{п,кон} + E_{к,кон}\]
\[E_{кон} = 0 + \frac{m \cdot v_{кон}^2}{2}\]
\[E_{кон} = \frac{m \cdot v_{кон}^2}{2}\]
4. Применим закон сохранения энергии:
\[E_{нач} = E_{кон}\]
\[m \cdot g \cdot h + \frac{m \cdot v_0^2}{2} = \frac{m \cdot v_{кон}^2}{2}\]
5. Сократим массу \(m\):
\[g \cdot h + \frac{v_0^2}{2} = \frac{v_{кон}^2}{2}\]
6. Выразим скорость \(v_{кон}\):
\[v_{кон}^2 = 2 \cdot (g \cdot h + \frac{v_0^2}{2})\]
\[v_{кон}^2 = 2 \cdot g \cdot h + v_0^2\]
\[v_{кон} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h + v_0^2}\]
7. Подставим значения и рассчитаем:
\[v_{кон} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 4,25 \text{ м} + (4 \text{ м/с})^2}\]
\[v_{кон} = \sqrt{20 \cdot 4,25 + 16}\]
\[v_{кон} = \sqrt{85 + 16}\]
\[v_{кон} = \sqrt{101}\]
\[v_{кон} \approx 10,0498756 \text{ м/с}\]
8. Округлим до сотых:
\[v_{кон} \approx 10,05 \text{ м/с}\]
Ответ: Скорость мальчика в конце спуска составит примерно 10,05 м/с.
***Задача 6
Мяч бросают с высоты 80 м вертикально вниз со скоростью 10 м/с, после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх. Найти его скорость на высоте 60 м.
Ответ округлите до сотых
Решение:
В этой задаче мы используем закон сохранения