Задача 1
Пружинное ружье выстреливает шариком массой 20 г. На какую максимальную высоту поднимется шарик, если пружина сжата на 0,1 м, а жесткость пружины равна 400 Н/м?
Решение:
Сначала запишем, что нам дано, и переведем все величины в систему СИ.
- Масса шарика \(m = 20 \text{ г} = 0,02 \text{ кг}\)
- Сжатие пружины \(x = 0,1 \text{ м}\)
- Жесткость пружины \(k = 400 \text{ Н/м}\)
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\)
Нам нужно найти максимальную высоту \(h\), на которую поднимется шарик.
Применим закон сохранения энергии. В начальный момент вся энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии сжатой пружины. Когда шарик поднимается на максимальную высоту, вся эта энергия переходит в потенциальную энергию шарика в поле тяжести Земли.
1. Потенциальная энергия сжатой пружины \(E_пружины\) вычисляется по формуле:
\[E_{пружины} = \frac{1}{2} k x^2\]Подставим значения:
\[E_{пружины} = \frac{1}{2} \cdot 400 \text{ Н/м} \cdot (0,1 \text{ м})^2\] \[E_{пружины} = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot 0,01\] \[E_{пружины} = 200 \cdot 0,01\] \[E_{пружины} = 2 \text{ Дж}\]2. Потенциальная энергия шарика на максимальной высоте \(E_{высоты}\) вычисляется по формуле:
\[E_{высоты} = m g h\]3. Согласно закону сохранения энергии, \(E_{пружины} = E_{высоты}\):
\[\frac{1}{2} k x^2 = m g h\]Отсюда выразим высоту \(h\):
\[h = \frac{\frac{1}{2} k x^2}{m g}\]Подставим значения:
\[h = \frac{2 \text{ Дж}}{0,02 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}\] \[h = \frac{2}{0,2}\] \[h = 10 \text{ м}\]Ответ: Шарик поднимется на максимальную высоту 10 м.
Задача 2
Мяч бросают с высоты 1500 см вертикально вниз со скоростью 8 м/с, после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх. На какую максимальную высоту поднимется мяч?
Решение:
Сначала запишем, что нам дано, и переведем все величины в систему СИ.
- Начальная высота \(h_1 = 1500 \text{ см} = 15 \text{ м}\)
- Начальная скорость \(v_1 = 8 \text{ м/с}\)
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\)
Нам нужно найти максимальную высоту \(h_2\), на которую поднимется мяч после отскока.
Поскольку отскок абсолютно упругий, это означает, что энергия сохраняется. То есть, полная механическая энергия мяча перед ударом о пол равна полной механической энергии мяча сразу после отскока. А также, полная механическая энергия в начальной точке (перед броском) равна полной механической энергии в конечной точке (максимальная высота после отскока).
1. Полная механическая энергия мяча в начальный момент (на высоте \(h_1\) со скоростью \(v_1\)) состоит из кинетической и потенциальной энергии:
\[E_{начальная} = E_{кинетическая} + E_{потенциальная}\] \[E_{начальная} = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1\]2. Полная механическая энергия мяча на максимальной высоте \(h_2\) после отскока. В этой точке скорость мяча равна нулю, поэтому вся энергия будет потенциальной:
\[E_{конечная} = m g h_2\]3. Согласно закону сохранения энергии, \(E_{начальная} = E_{конечная}\):
\[\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 = m g h_2\]Мы можем сократить массу \(m\) из всех членов уравнения:
\[\frac{1}{2} v_1^2 + g h_1 = g h_2\]Отсюда выразим \(h_2\):
\[h_2 = \frac{\frac{1}{2} v_1^2 + g h_1}{g}\] \[h_2 = \frac{v_1^2}{2g} + h_1\]Подставим значения:
\[h_2 = \frac{(8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} + 15 \text{ м}\] \[h_2 = \frac{64}{20} + 15\] \[h_2 = 3,2 + 15\] \[h_2 = 18,2 \text{ м}\]Ответ: Мяч поднимется на максимальную высоту 18,2 м.
Задача 3
Тело падает без начальной скорости с высоты 20 м. Найти его скорость перед столкновением с землей.
Решение:
Сначала запишем, что нам дано.
- Начальная скорость \(v_0 = 0 \text{ м/с}\) (тело падает без начальной скорости)
- Высота \(h = 20 \text{ м}\)
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\)
Нам нужно найти скорость \(v\) тела перед столкновением с землей.
Применим закон сохранения энергии. В начальный момент (на высоте \(h\)) тело обладает только потенциальной энергией, так как его начальная скорость равна нулю. Перед столкновением с землей (на высоте 0 м) вся потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию.
1. Полная механическая энергия в начальный момент:
\[E_{начальная} = m g h + \frac{1}{2} m v_0^2\]Так как \(v_0 = 0\), то:
\[E_{начальная} = m g h\]2. Полная механическая энергия перед столкновением с землей (на высоте 0 м):
\[E_{конечная} = m g \cdot 0 + \frac{1}{2} m v^2\] \[E_{конечная} = \frac{1}{2} m v^2\]3. Согласно закону сохранения энергии, \(E_{начальная} = E_{конечная}\):
\[m g h = \frac{1}{2} m v^2\]Сократим массу \(m\) из обеих частей уравнения:
\[g h = \frac{1}{2} v^2\]Выразим скорость \(v\):
\[v^2 = 2 g h\] \[v = \sqrt{2 g h}\]Подставим значения:
\[v = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}}\] \[v = \sqrt{400}\] \[v = 20 \text{ м/с}\]Ответ: Скорость тела перед столкновением с землей равна 20 м/с.
Задача 4
На какой высоте находилась воздушная цель, если для достижения этой высоты скорость снаряда, запущенного с поверхности Земли, была равна 300 м/с?
Решение:
Сначала запишем, что нам дано.
- Начальная скорость снаряда \(v_0 = 300 \text{ м/с}\) (с поверхности Земли)
- Скорость снаряда на высоте цели \(v = 0 \text{ м/с}\) (для достижения высоты, предполагается, что это максимальная высота, где скорость становится равной нулю)
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\)
Нам нужно найти высоту \(h\), на которой находилась воздушная цель.
Применим закон сохранения энергии. В начальный момент (на поверхности Земли) снаряд обладает только кинетической энергией. На максимальной высоте (где находится цель) вся кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию.
1. Полная механическая энергия в начальный момент (на поверхности Земли, \(h=0\)):
\[E_{начальная} = \frac{1}{2} m v_0^2 + m g \cdot 0\] \[E_{начальная} = \frac{1}{2} m v_0^2\]2. Полная механическая энергия на высоте цели \(h\):
\[E_{конечная} = m g h + \frac{1}{2} m v^2\]Так как на максимальной высоте \(v = 0\), то:
\[E_{конечная} = m g h\]3. Согласно закону сохранения энергии, \(E_{начальная} = E_{конечная}\):
\[\frac{1}{2} m v_0^2 = m g h\]Сократим массу \(m\) из обеих частей уравнения:
\[\frac{1}{2} v_0^2 = g h\]Выразим высоту \(h\):
\[h = \frac{v_0^2}{2 g}\]Подставим значения:
\[h = \frac{(300 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2}\] \[h = \frac{90000}{20}\] \[h = 4500 \text{ м}\]Ответ: Воздушная цель находилась на высоте 4500 м.
Задача 5
Мальчик подъезжает на самокате к спуску, скорость мальчика в начале спуска 4 м/с. Высота спуска 4,25 м. Найти скорость мальчика в конце спуска. Ответ округлите до сотых.
Решение:
Сначала запишем, что нам дано.
- Начальная скорость мальчика \(v_1 = 4 \text{ м/с}\)
- Высота спуска \(h = 4,25 \text{ м}\)
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\)
Нам нужно найти скорость мальчика \(v_2\) в конце спуска.
Применим закон сохранения энергии. В начале спуска мальчик обладает как кинетической, так и потенциальной энергией (относительно нижней точки спуска). В конце спуска (на высоте 0 м) вся потенциальная энергия переходит в кинетическую, и мальчик будет иметь максимальную скорость.
1. Полная механическая энергия в начале спуска:
\[E_{начальная} = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h\]2. Полная механическая энергия в конце спуска (на высоте 0 м):
\[E_{конечная} = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g \cdot 0\] \[E_{конечная} = \frac{1}{2} m v_2^2\]3. Согласно закону сохранения энергии, \(E_{начальная} = E_{конечная}\):
\[\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h = \frac{1}{2} m v_2^2\]Сократим массу \(m\) из всех членов уравнения:
\[\frac{1}{2} v_1^2 + g h = \frac{1}{2} v_2^2\]Выразим \(v_2^2\):
\[v_2^2 = v_1^2 + 2 g h\]Выразим \(v_2\):
\[v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2 g h}\]Подставим значения:
\[v_2 = \sqrt{(4 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 4,25 \text{ м}}\] \[v_2 = \sqrt{16 + 20 \cdot 4,25}\] \[v_2 = \sqrt{16 + 85}\] \[v_2 = \sqrt{101}\]Вычислим значение и округлим до сотых:
\[v_2 \approx 10,0498756... \text{ м/с}\] \[v_2 \approx 10,05 \text{ м/с}\]Ответ: Скорость мальчика в конце спуска равна 10,05 м/с.
Задача 6
Мяч бросают с высоты 80 м вертикально вниз со скоростью 10 м/с, после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх. Найти его скорость на высоте 60 м.
Решение:
Сначала запишем, что нам дано.
- Начальная высота \(h_1 = 80 \text{ м}\)
- Начальная скорость \(v_1 = 10 \text{ м/с}\)
- Высота, на которой нужно найти скорость \(h_2 = 60 \text{ м}\)
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\)
Нам нужно найти скорость \(v_2\) мяча на высоте 60 м после отскока.
Поскольку отскок абсолютно упругий, полная механическая энергия мяча сохраняется на протяжении всего движения (до удара, после удара и во время подъема).
1. Полная механическая энергия мяча в начальный момент (на высоте \(h_1\) со скоростью \(v_1\)):
\[E_{начальная} = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1\]2. Полная механическая энергия мяча на высоте \(h_2\) (где нужно найти скорость \(v_2\)):
\[E_{конечная} = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g h_2\]3. Согласно закону сохранения энергии, \(E_{начальная} = E_{конечная}\):
\[\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g h_2\]Сократим массу \(m\) из всех членов уравнения:
\[\frac{1}{2} v_1^2 + g h_1 = \frac{1}{2} v_2^2 + g h_2\]Выразим \(v_2^2\):
\[\frac{1}{2} v_2^2 = \frac{1}{2} v_1^2 + g h_1 - g h_2\] \[v_2^2 = v_1^2 + 2 g h_1 - 2 g h_2\] \[v_2^2 = v_1^2 + 2 g (h_1 - h_2)\]Выразим \(v_2\):
\[v_2 = \sqrt{v_1^2