Задача 6 (продолжение)
Мяч бросают с высоты 80 м вертикально вниз со скоростью 10 м/с, после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх. Найти его скорость на высоте 60 м.
Решение:
Сначала запишем, что нам дано.
- Начальная высота \(h_1 = 80 \text{ м}\)
- Начальная скорость \(v_1 = 10 \text{ м/с}\)
- Высота, на которой нужно найти скорость \(h_2 = 60 \text{ м}\)
- Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\)
Нам нужно найти скорость \(v_2\) мяча на высоте 60 м после отскока.
Поскольку отскок абсолютно упругий, полная механическая энергия мяча сохраняется на протяжении всего движения (до удара, после удара и во время подъема).
1. Полная механическая энергия мяча в начальный момент (на высоте \(h_1\) со скоростью \(v_1\)):
\[E_{начальная} = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1\]2. Полная механическая энергия мяча на высоте \(h_2\) (где нужно найти скорость \(v_2\)):
\[E_{конечная} = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g h_2\]3. Согласно закону сохранения энергии, \(E_{начальная} = E_{конечная}\):
\[\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g h_2\]Сократим массу \(m\) из всех членов уравнения:
\[\frac{1}{2} v_1^2 + g h_1 = \frac{1}{2} v_2^2 + g h_2\]Выразим \(v_2^2\):
\[\frac{1}{2} v_2^2 = \frac{1}{2} v_1^2 + g h_1 - g h_2\] \[v_2^2 = v_1^2 + 2 g h_1 - 2 g h_2\] \[v_2^2 = v_1^2 + 2 g (h_1 - h_2)\]Выразим \(v_2\):
\[v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2 g (h_1 - h_2)}\]Подставим значения:
\[v_2 = \sqrt{(10 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (80 \text{ м} - 60 \text{ м})}\] \[v_2 = \sqrt{100 + 20 \cdot 20}\] \[v_2 = \sqrt{100 + 400}\] \[v_2 = \sqrt{500}\]Вычислим значение и округлим до сотых:
\[v_2 \approx 22,360679... \text{ м/с}\] \[v_2 \approx 22,36 \text{ м/с}\]Ответ: Скорость мяча на высоте 60 м равна 22,36 м/с.