Решение задачи по гармоническим колебаниям из учебника Тарг С.М.

Обозначение \(k^2\) используется в физике и математике не случайно. Вот основные причины, которые стоит понимать школьнику: 1. Удобство извлечения корня Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид: \[ \ddot{x} + \frac{c}{m}x = 0 \] Если мы обозначим величину \(\frac{c}{m}\) просто буквой \(k\), то в решении (где используются синусы и косинусы) нам постоянно пришлось бы писать громоздкий корень: \(\cos(\sqrt{k} \cdot t)\). Обозначая же \(\frac{c}{m} = k^2\), мы получаем красивое и чистое решение: \[ x(t) = A \cos(kt + \alpha) \] Здесь \(k\) сразу выступает как циклическая частота. 2. Гарантия положительности величины Коэффициенты \(m\) (масса) и \(c\) (жесткость) всегда положительны. Следовательно, их отношение \(\frac{c}{m}\) — это всегда положительное число. В математике любое положительное число можно представить как квадрат другого числа. Запись \(k^2\) сразу подчеркивает, что этот коэффициент не может быть отрицательным. Это важно, потому что если бы коэффициент был отрицательным, вместо колебаний мы бы получили экспоненциальный разлет тела (оно бы просто улетало в бесконечность, а не колебалось). 3. Физический смысл частоты В физике \(k\) (циклическая частота) имеет размерность \([рад/с]\). Возводя её в квадрат в уравнении, мы приводим все слагаемые к одной размерности. - Ускорение \(\ddot{x}\) имеет размерность \([м/с^2]\). - Величина \(k^2 x\) имеет размерность \([(1/с)^2 \cdot м]\), что также дает \([м/с^2]\). Уравнение становится гармоничным не только по смыслу, но и по единицам измерения. Запись для тетради: Мы вводим обозначение \(k^2 = \frac{c}{m}\), чтобы упростить вид решения дифференциального уравнения и выделить физический параметр — циклическую частоту \(k\), которая определяет скорость протекания колебательного процесса.