Задача 1
Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если AB = BC и \(\angle ABD = \angle CBD\).
Дано:
Треугольники ABD и CBD.
AB = BC
\(\angle ABD = \angle CBD\)
Доказать:
\(\triangle ABD = \triangle CBD\)
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ABD и CBD.
1. AB = BC (по условию)
2. \(\angle ABD = \angle CBD\) (по условию)
3. Сторона BD - общая для обоих треугольников.
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CBD\).
Задача 2
Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.
Дано:
Равнобедренный треугольник.
Периметр \(P = 30\) см.
Боковая сторона на 6 см меньше основания.
Найти:
Длины сторон треугольника.
Решение:
Пусть основание равнобедренного треугольника равно \(x\) см.
Тогда боковая сторона равна \((x - 6)\) см.
У равнобедренного треугольника две боковые стороны равны, поэтому обе боковые стороны будут по \((x - 6)\) см.
Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон:
\[P = \text{основание} + \text{боковая сторона} + \text{боковая сторона}\]
Подставим известные значения:
\[30 = x + (x - 6) + (x - 6)\]
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[30 = x + x - 6 + x - 6\]
\[30 = 3x - 12\]
Перенесем число -12 в левую часть уравнения, изменив знак:
\[30 + 12 = 3x\]
\[42 = 3x\]
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти \(x\):
\[x = \frac{42}{3}\]
\[x = 14\]
Итак, основание треугольника равно 14 см.
Найдем длину боковой стороны:
Боковая сторона = \(x - 6 = 14 - 6 = 8\) см.
Проверим периметр: \(14 + 8 + 8 = 30\) см. Все верно.
Ответ:
Стороны равнобедренного треугольника равны 14 см, 8 см и 8 см.
Задача 3
На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и K так, что \(\angle ABM = \angle CBK\), точка M лежит между точками A и K. Докажите, что AM = CK.
Дано:
Треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC.
Точки M и K лежат на AC.
\(\angle ABM = \angle CBK\)
Точка M лежит между A и K.
Доказать:
AM = CK
Доказательство:
Поскольку \(\triangle ABC\) равнобедренный с основанием AC, то AB = BC и \(\angle BAC = \angle BCA\).
Рассмотрим \(\triangle ABM\) и \(\triangle CBK\).
1. AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC).
2. \(\angle BAM = \angle BCK\) (так как \(\angle BAC = \angle BCA\), а точки M и K лежат на основании AC, то \(\angle BAM\) это то же самое, что \(\angle BAC\), и \(\angle BCK\) это то же самое, что \(\angle BCA\)).
3. \(\angle ABM = \angle CBK\) (по условию).
По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, \(\triangle ABM = \triangle CBK\).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, AM = CK.
Что и требовалось доказать.
Задача 4
Известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO.
Дано:
Четырехугольник ABCD (рис. 45).
AB = AD
BC = DC
Точка O - точка пересечения диагоналей AC и BD.
Доказать:
BO = DO
Доказательство:
Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\).
1. AB = AD (по условию).
2. BC = DC (по условию).
3. Сторона AC - общая для обоих треугольников.
По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle ADC\).
Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов. В частности, \(\angle BAC = \angle DAC\).
Теперь рассмотрим \(\triangle ABO\) и \(\triangle ADO\).
1. AB = AD (по условию).
2. \(\angle BAO = \angle DAO\) (так как \(\angle BAC = \angle DAC\), а точка O лежит на AC, то \(\angle BAO\) это то же самое, что \(\angle BAC\), и \(\angle DAO\) это то же самое, что \(\angle DAC\)).
3. Сторона AO - общая для обоих треугольников.
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle ADO\).
Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, BO = DO.
Что и требовалось доказать.