Хорошо, давайте решим эту задачу по геометрии. Нам нужно найти площади трёх фигур, изображённых на клетчатой бумаге. Будем считать, что сторона одной клетки равна 1 единице измерения (например, 1 см).
Заголовок: Домашняя работа
Номер задачи: 6)
1. Первая фигура (квадрат)
На рисунке изображён квадрат, повёрнутый относительно осей координат. Чтобы найти его площадь, можно использовать формулу Пика, но для школьника удобнее будет разбить фигуру на более простые части или достроить до прямоугольника.
Давайте достроим квадрат до большого прямоугольника.
Если внимательно посмотреть на рисунок, то вершины квадрата расположены в следующих точках (считая от левого нижнего угла):
Первая вершина: (1, 2)
Вторая вершина: (4, 1)
Третья вершина: (5, 4)
Четвёртая вершина: (2, 5)
Длина стороны квадрата (по теореме Пифагора):
Возьмём две соседние вершины, например, (1, 2) и (4, 1).
Разница по x: \(4 - 1 = 3\)
Разница по y: \(2 - 1 = 1\)
Длина стороны \(a = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\)
Площадь квадрата \(S = a^2 = (\sqrt{10})^2 = 10\) квадратных единиц.
Другой способ: Достроим квадрат до прямоугольника.
Прямоугольник будет иметь вершины в точках (1, 1), (5, 1), (5, 5), (1, 5).
Его стороны: \(5 - 1 = 4\) и \(5 - 1 = 4\).
Площадь большого квадрата: \(4 \times 4 = 16\) квадратных единиц.
Теперь вычтем площади четырёх прямоугольных треугольников по углам.
Каждый треугольник имеет катеты 1 и 3.
Площадь одного треугольника: \(S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = \frac{3}{2} = 1.5\) квадратных единиц.
Всего 4 таких треугольника, их общая площадь: \(4 \times 1.5 = 6\) квадратных единиц.
Площадь искомого квадрата: \(S_{квадрата} = S_{большого\_квадрата} - S_{4\_треугольников} = 16 - 6 = 10\) квадратных единиц.
Ответ: Площадь первой фигуры равна 10 квадратных единиц.
2. Вторая фигура (прямоугольник)
На рисунке изображён прямоугольник, также повёрнутый.
Вершины прямоугольника:
Первая вершина: (1, 10)
Вторая вершина: (3, 9)
Третья вершина: (4, 11)
Четвёртая вершина: (2, 12)
Длины сторон прямоугольника:
Сторона "a" (между (1, 10) и (3, 9)):
Разница по x: \(3 - 1 = 2\)
Разница по y: \(10 - 9 = 1\)
Длина \(a = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)
Сторона "b" (между (3, 9) и (4, 11)):
Разница по x: \(4 - 3 = 1\)
Разница по y: \(11 - 9 = 2\)
Длина \(b = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)
Оказывается, это тоже квадрат, так как стороны равны.
Площадь фигуры: \(S = a \times b = \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\) квадратных единиц.
Давайте проверим другим способом (достроим до прямоугольника).
Прямоугольник будет иметь вершины в точках (1, 9), (4, 9), (4, 12), (1, 12).
Его стороны: \(4 - 1 = 3\) и \(12 - 9 = 3\).
Площадь большого квадрата: \(3 \times 3 = 9\) квадратных единиц.
Вычтем площади четырёх прямоугольных треугольников по углам.
Два треугольника имеют катеты 1 и 2.
Площадь одного такого треугольника: \(S_{треугольника1} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\) квадратная единица.
Два других треугольника также имеют катеты 1 и 2.
Площадь одного такого треугольника: \(S_{треугольника2} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1\) квадратная единица.
Общая площадь четырёх треугольников: \(1 + 1 + 1 + 1 = 4\) квадратных единицы.
Площадь искомого квадрата: \(S_{квадрата} = S_{большого\_квадрата} - S_{4\_треугольников} = 9 - 4 = 5\) квадратных единиц.
Ответ: Площадь второй фигуры равна 5 квадратных единиц.
3. Третья фигура (трапеция)
На рисунке изображена прямоугольная трапеция.
Вершины трапеции:
Левая нижняя: (1, 16)
Левая верхняя: (1, 18)
Правая верхняя: (7, 19)
Правая нижняя: (7, 16)
Основания трапеции:
Нижнее основание \(a\): от (1, 16) до (7, 16). Длина \(a = 7 - 1 = 6\) единиц.
Верхнее основание \(b\): от (1, 18) до (7, 19). Это не так.
Давайте внимательно посмотрим на рисунок.
Левая сторона трапеции вертикальна.
Левая нижняя вершина: (1, 16)
Левая верхняя вершина: (1, 18)
Высота трапеции \(h\): от (1, 16) до (1, 18) - это 2 единицы.
Но это не высота, а одна из боковых сторон.
Высота трапеции - это перпендикуляр между параллельными основаниями.
На рисунке параллельными являются горизонтальные линии.
Нижнее основание: от (1, 16) до (7, 16). Длина \(a = 7 - 1 = 6\) единиц.
Верхнее основание: от (1, 18) до (7, 19). Это не горизонтальная линия.
Давайте перерисуем или переосмыслим фигуру.
Это трапеция, у которой одно из оснований лежит на горизонтальной линии сетки.
Нижнее основание: от (1, 16) до (7, 16). Длина \(a = 6\).
Левая боковая сторона: от (1, 16) до (1, 18). Длина 2. Это перпендикуляр к нижнему основанию, то есть высота трапеции \(h = 2\).
Верхняя левая вершина: (1, 18).
Правая верхняя вершина: (7, 19).
Правая нижняя вершина: (7, 16).
Это не трапеция в классическом понимании, где основания параллельны. Здесь параллельны вертикальные линии, если смотреть на рисунок.
Если это трапеция, то её основания должны быть параллельны.
На рисунке, кажется, параллельны вертикальные линии.
Левая сторона: от (1, 16) до (1, 18). Длина 2.
Правая сторона: от (7, 16) до (7, 19). Длина 3.
Эти две стороны параллельны. Значит, они являются основаниями трапеции.
Высота трапеции - это расстояние между этими параллельными сторонами, то есть \(7 - 1 = 6\).
Основания трапеции:
\(a = 2\) (вертикальный отрезок от (1, 16) до (1, 18))
\(b = 3\) (вертикальный отрезок от (7, 16) до (7, 19))
Высота трапеции \(h = 6\) (горизонтальное расстояние между вертикальными отрезками)
Формула площади трапеции: \(S = \frac{a + b}{2} \times h\)
\(S = \frac{2 + 3}{2} \times 6\)
\(S = \frac{5}{2} \times 6\)
\(S = 5 \times 3\)
\(S = 15\) квадратных единиц.
Ответ: Площадь третьей фигуры равна 15 квадратных единиц.
Итоговые ответы:
1. Площадь первой фигуры (квадрата) = 10 квадратных единиц.
2. Площадь второй фигуры (квадрата) = 5 квадратных единиц.
3. Площадь третьей фигуры (трапеции) = 15 квадратных единиц.
