Решение: Площади фигур (6-11) - Геометрия 8 класс

Хорошо, давайте решим эту задачу. Нам нужно построить фигуры и найти их площади. Каждая клетка на рисунке представляет собой квадрат со стороной 1 единица. Площадь одной такой клетки равна \(1 \cdot 1 = 1\) квадратной единице. Для нахождения площади фигур, которые не являются простыми прямоугольниками или треугольниками, мы можем использовать метод разбиения на более простые фигуры (прямоугольники и треугольники) или метод Пика, если вершины лежат в узлах сетки. В данном случае, удобнее всего будет разбивать фигуры на прямоугольники и прямоугольные треугольники. Давайте рассмотрим каждую фигуру по порядку.

Фигура 6

Эта фигура представляет собой трапецию.

Построение:

1. Отметим вершины фигуры на координатной плоскости.
2. Соединим вершины отрезками.

Найдём площадь фигуры 6.

Мы можем разбить эту трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника, или использовать формулу площади трапеции.

Давайте определим длины оснований и высоту трапеции по клеткам.

• Верхнее основание: 4 клетки.
• Нижнее основание: 6 клеток.
• Высота: 4 клетки.

Формула площади трапеции: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\), где \(a\) и \(b\) - длины оснований, \(h\) - высота.

Подставим значения:

\[S_6 = \frac{4+6}{2} \cdot 4\] \[S_6 = \frac{10}{2} \cdot 4\] \[S_6 = 5 \cdot 4\] \[S_6 = 20\]

Площадь фигуры 6 равна 20 квадратным единицам.

Фигура 7

Эта фигура представляет собой параллелограмм.

Построение:

1. Отметим вершины фигуры на координатной плоскости.
2. Соединим вершины отрезками.

Найдём площадь фигуры 7.

Мы можем разбить эту фигуру на прямоугольник и два прямоугольных треугольника, или использовать формулу площади параллелограмма.

Давайте определим основание и высоту параллелограмма.

• Основание: 6 клеток (по диагонали, но мы можем взять горизонтальную проекцию).
• Высота: 2 клетки.

Чтобы найти площадь, удобнее всего "достроить" фигуру до прямоугольника и вычесть лишние части. Или, что проще, "переместить" один из треугольников. Если мы отрежем правый верхний треугольник и приставим его к левому нижнему углу, мы получим прямоугольник.

Размеры этого прямоугольника будут:

• Длина: 6 клеток.
• Ширина: 2 клетки.

Площадь прямоугольника: \(S = \text{длина} \cdot \text{ширина}\).

\[S_7 = 6 \cdot 2\] \[S_7 = 12\]

Площадь фигуры 7 равна 12 квадратным единицам.

Фигура 8

Эта фигура представляет собой треугольник.

Построение:

1. Отметим вершины фигуры на координатной плоскости.
2. Соединим вершины отрезками.

Найдём площадь фигуры 8.

Мы можем найти площадь этого треугольника, используя формулу площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).

Давайте определим основание и высоту треугольника.

• Основание: 3 клетки (горизонтальная сторона).
• Высота: 6 клеток (перпендикуляр от вершины до основания).

Подставим значения:

\[S_8 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\] \[S_8 = \frac{1}{2} \cdot 18\] \[S_8 = 9\]

Площадь фигуры 8 равна 9 квадратным единицам.

Фигура 9

Эта фигура представляет собой прямоугольный треугольник.

Построение:

1. Отметим вершины фигуры на координатной плоскости.
2. Соединим вершины отрезками.

Найдём площадь фигуры 9.

Для прямоугольного треугольника площадь можно найти как половину произведения катетов.

Давайте определим длины катетов.

• Катет 1: 4 клетки (горизонтальный).
• Катет 2: 6 клеток (вертикальный).

Подставим значения:

\[S_9 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6\] \[S_9 = \frac{1}{2} \cdot 24\] \[S_9 = 12\]

Площадь фигуры 9 равна 12 квадратным единицам.

Фигура 10

Эта фигура представляет собой пятиугольник.

Построение:

1. Отметим вершины фигуры на координатной плоскости.
2. Соединим вершины отрезками.

Найдём площадь фигуры 10.

Мы можем разбить эту фигуру на более простые фигуры. Например, на прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Давайте разобьём её так:

1. Прямоугольник в центре.
2. Прямоугольный треугольник сверху.
3. Прямоугольный треугольник снизу.

Размеры частей:

• Центральный прямоугольник: длина 4 клетки, ширина 4 клетки. Площадь \(S_{пр} = 4 \cdot 4 = 16\).
• Верхний треугольник: катеты 1 клетка и 4 клетки. Площадь \(S_{тр1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2\).
• Нижний треугольник: катеты 1 клетка и 4 клетки. Площадь \(S_{тр2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2\).

Общая площадь фигуры 10:

\[S_{10} = S_{пр} + S_{тр1} + S_{тр2}\] \[S_{10} = 16 + 2 + 2\] \[S_{10} = 20\]

Площадь фигуры 10 равна 20 квадратным единицам.

Фигура 11

Эта фигура представляет собой треугольник.

Построение:

1. Отметим вершины фигуры на координатной плоскости.
2. Соединим вершины отрезками.

Найдём площадь фигуры 11.

Мы можем найти площадь этого треугольника, используя формулу площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).

Давайте определим основание и высоту треугольника.

• Основание: 2 клетки (горизонтальная сторона).
• Высота: 6 клеток (перпендикуляр от вершины до основания).

Подставим значения:

\[S_{11} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6\] \[S_{11} = \frac{1}{2} \cdot 12\] \[S_{11} = 6\]

Площадь фигуры 11 равна 6 квадратным единицам.

Итоги:

• Площадь фигуры 6: 20 квадратных единиц.
• Площадь фигуры 7: 12 квадратных единиц.
• Площадь фигуры 8: 9 квадратных единиц.
• Площадь фигуры 9: 12 квадратных единиц.
• Площадь фигуры 10: 20 квадратных единиц.
• Площадь фигуры 11: 6 квадратных единиц.