Решение задачи: Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Хорошо, давайте изменим порядок интегрирования в заданном двойном интеграле и построим область интегрирования. Заданный интеграл: \[ \int_{0}^{2} dx \int_{3x^2}^{2x} f(x, y) dy \] Сначала определим область интегрирования \(D\). Из внешнего интеграла: \(0 \le x \le 2\). Из внутреннего интеграла: \(3x^2 \le y \le 2x\). Таким образом, область \(D\) ограничена следующими кривыми: 1. \(x = 0\) (ось \(Oy\)) 2. \(x = 2\) 3. \(y = 3x^2\) (парабола) 4. \(y = 2x\) (прямая) Давайте построим эти функции и определим область. Построение графика функций: 1. **Прямая \(y = 2x\)**: * При \(x = 0\), \(y = 0\). Точка \((0, 0)\). * При \(x = 1\), \(y = 2\). Точка \((1, 2)\). * При \(x = 2\), \(y = 4\). Точка \((2, 4)\). 2. **Парабола \(y = 3x^2\)**: * При \(x = 0\), \(y = 0\). Точка \((0, 0)\). * При \(x = 1\), \(y = 3\). Точка \((1, 3)\). * При \(x = 2\), \(y = 3 \cdot 2^2 = 12\). Точка \((2, 12)\). Теперь найдем точки пересечения кривых \(y = 3x^2\) и \(y = 2x\). Приравняем их: \(3x^2 = 2x\) \(3x^2 - 2x = 0\) \(x(3x - 2) = 0\) Отсюда \(x = 0\) или \(3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\). * При \(x = 0\), \(y = 2 \cdot 0 = 0\). Точка пересечения \((0, 0)\). * При \(x = \frac{2}{3}\), \(y = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). Точка пересечения \(\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\). Важно заметить, что в исходном интеграле \(y\) изменяется от \(3x^2\) до \(2x\). Это означает, что для заданного \(x\), \(3x^2 \le 2x\). Это неравенство выполняется только при \(0 \le x \le \frac{2}{3}\). Если \(x > \frac{2}{3}\), то \(3x^2 > 2x\). Например, при \(x = 1\), \(3x^2 = 3\), \(2x = 2\), и \(3 > 2\). Это означает, что исходный интеграл, как он записан, имеет смысл только для \(x\) от \(0\) до \(\frac{2}{3}\). Если бы область интегрирования была от \(0\) до \(2\), то для \(x \in \left(\frac{2}{3}, 2\right]\) нижняя граница \(3x^2\) была бы выше верхней границы \(2x\), что делает внутренний интеграл некорректным в обычном смысле (если только \(f(x,y)\) не отрицательна, но это не меняет порядка интегрирования). Предположим, что задание подразумевает область, где \(3x^2 \le y \le 2x\), и это автоматически ограничивает \(x\) до \(\left[0, \frac{2}{3}\right]\). Тогда область \(D\) ограничена: * Слева: \(x = 0\) * Справа: \(x = \frac{2}{3}\) * Снизу: \(y = 3x^2\) * Сверху: \(y = 2x\) Теперь давайте изменим порядок интегрирования. Это означает, что мы будем интегрировать сначала по \(x\), а затем по \(y\). Для этого нам нужно выразить \(x\) через \(y\) из уравнений границ. 1. Из \(y = 2x \Rightarrow x = \frac{y}{2}\). 2. Из \(y = 3x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{y}{3} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{y}{3}}\) (мы берем положительный корень, так как \(x \ge 0\)). Теперь определим границы для \(y\). Минимальное значение \(y\) в области \(D\) равно \(0\) (в точке \((0, 0)\)). Максимальное значение \(y\) в области \(D\) достигается в точке пересечения \(\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\), где \(y = \frac{4}{3}\). Значит, \(0 \le y \le \frac{4}{3}\). Для каждого фиксированного \(y\) в этом диапазоне, \(x\) изменяется от кривой, которая находится левее, до кривой, которая находится правее. В нашей области \(D\), для любого \(y \in \left[0, \frac{4}{3}\right]\), левая граница для \(x\) задается прямой \(x = \frac{y}{2}\), а правая граница - параболой \(x = \sqrt{\frac{y}{3}}\). (Проверим: при \(y = 1\), \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 0.577\). Действительно, \(\frac{1}{2} < \sqrt{\frac{1}{3}}\), то есть прямая левее параболы). Итак, новый порядок интегрирования: \[ \int_{0}^{\frac{4}{3}} dy \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{\frac{y}{3}}} f(x, y) dx \] Схематический график области интегрирования: Представьте себе координатную плоскость. 1. Нарисуйте ось \(Ox\) и ось \(Oy\). 2. Отметьте точку \((0, 0)\). 3. Нарисуйте прямую \(y = 2x\). Она проходит через \((0, 0)\) и \(\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\). 4. Нарисуйте параболу \(y = 3x^2\). Она также проходит через \((0, 0)\) и \(\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\). 5. Область \(D\) будет находиться между этими двумя кривыми, от \(x=0\) до \(x=\frac{2}{3}\). Парабола \(y=3x^2\) будет нижней границей, а прямая \(y=2x\) - верхней границей. Для изменения порядка интегрирования: 1. Область \(D\) теперь рассматривается как ограниченная снизу \(y=0\) и сверху \(y=\frac{4}{3}\). 2. Для каждого \(y\) в этом диапазоне, \(x\) начинается от прямой \(x=\frac{y}{2}\) и заканчивается на параболе \(x=\sqrt{\frac{y}{3}}\). Таким образом, измененный порядок интегрирования: \[ \int_{0}^{\frac{4}{3}} dy \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{\frac{y}{3}}} f(x, y) dx \] Ответ: Измененный порядок интегрирования: \[ \int_{0}^{\frac{4}{3}} dy \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{\frac{y}{3}}} f(x, y) dx \] График функций: (Здесь я не могу нарисовать график, но могу описать его, как если бы вы рисовали его в тетради) 1. Начертите прямоугольную систему координат с осями \(Ox\) и \(Oy\). 2. Отметьте на оси \(Ox\) точки \(0\) и \(\frac{2}{3}\). 3. Отметьте на оси \(Oy\) точки \(0\) и \(\frac{4}{3}\). 4. Постройте прямую \(y = 2x\). Она проходит через начало координат \((0,0)\) и точку \(\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\). 5. Постройте параболу \(y = 3x^2\). Она также проходит через начало координат \((0,0)\) и точку \(\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)\). 6. Заштрихуйте область, которая находится между этими двумя кривыми, от \(x=0\) до \(x=\frac{2}{3}\). Эта область будет ограничена снизу параболой \(y=3x^2\) и сверху прямой \(y=2x\). Это и есть область интегрирования \(D\).