schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи: деление группы студентов на подгруппы
help_outlineУсловие задачи
Группу из 5 студентов нужно разделить на 2 подгруппы, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 1 . Сколькими способами это можно сделать
lightbulbКраткий ответ
Группу из 5 студентов можно разделить на подгруппы по 3 и 1 человеку 10 способами. Решение основано на формуле сочетаний.
Подробное решение
Давайте решим эту задачу по шагам.
Нам нужно разделить 5 студентов на две подгруппы:
* Первая подгруппа: 3 человека.
* Вторая подгруппа: 1 человек.
Остальные студенты, которые не вошли ни в первую, ни во вторую подгруппу, образуют третью подгруппу. Давайте посчитаем, сколько их будет:
Всего студентов: 5
В первой подгруппе: 3
Во второй подгруппе: 1
Осталось студентов: \(5 - 3 - 1 = 1\) человек.
Теперь давайте посчитаем количество способов для каждой подгруппы.
1. Выбираем 3 человека для первой подгруппы из 5 студентов.
Для этого мы используем формулу сочетаний, потому что порядок выбора студентов не важен.
Формула сочетаний: \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Где \(n\) — общее количество студентов, \(k\) — количество студентов, которых мы выбираем.
В нашем случае: \(n = 5\), \(k = 3\).
\[C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10\]
Значит, есть 10 способов выбрать 3 человека для первой подгруппы.
2. После того как мы выбрали 3 человека для первой подгруппы, у нас осталось \(5 - 3 = 2\) студента.
Теперь нам нужно выбрать 1 человека для второй подгруппы из оставшихся 2 студентов.
\[C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1!1!} = \frac{2 \times 1}{(1)(1)} = 2\]
Значит, есть 2 способа выбрать 1 человека для второй подгруппы.
3. Оставшийся 1 студент автоматически попадает в третью подгруппу.
\[C_1^1 = \frac{1!}{1!(1-1)!} = \frac{1!}{1!0!} = \frac{1}{1 \times 1} = 1\]
(Напоминаем, что \(0! = 1\)).
Чтобы найти общее количество способов разделить студентов, мы перемножаем количество способов для каждого шага.
Общее количество способов = (Способы выбрать 3 для первой подгруппы) \(\times\) (Способы выбрать 1 для второй подгруппы) \(\times\) (Способы выбрать 1 для третьей подгруппы)
Общее количество способов = \(10 \times 2 \times 1 = 20\)
Ответ: Группу из 5 студентов можно разделить на 2 подгруппы (3 человека в первую и 1 человек во вторую) 20 способами.