Решение задачи по статике: Момент сил на кубе

Хорошо, давайте решим эту задачу по статике. Задача: На куб с ребром \(a = 9\) м действуют две силы: \(F_1 = 9,6\) Н и \(F_2 = 2,9\) Н. Определить модуль главного момента, выбрав за центр приведения точку \(O\). Решение: 1. Определим координаты точек приложения сил и их векторы. Из рисунка видно, что начало координат находится в точке \(O\). Ребро куба \(a = 9\) м. Сила \(F_1\): Точка приложения силы \(F_1\) находится на оси \(x\) на расстоянии \(a/2\) от начала координат. Координаты точки приложения \(A_1 = (a/2, 0, 0)\). Вектор силы \(F_1\) направлен вдоль отрицательной оси \(x\). Следовательно, вектор силы \( \vec{F_1} = (-F_1, 0, 0) = (-9,6, 0, 0) \) Н. Сила \(F_2\): Точка приложения силы \(F_2\) находится в вершине куба, которая имеет координаты \((a/2, a/2, a/2)\) относительно центра куба \(O\). Вектор силы \(F_2\) направлен вдоль диагонали грани, лежащей в плоскости \(yz\), от точки \((a/2, 0, a/2)\) к точке \((a/2, a/2, a)\). Однако, судя по рисунку, вектор \(F_2\) направлен от точки \((a/2, 0, 0)\) к точке \((a/2, a, a)\) или от \((a/2, 0, 0)\) к \((a/2, a, 0)\) и \((a/2, 0, a)\). Давайте внимательно посмотрим на рисунок. Сила \(F_2\) приложена к вершине куба, которая находится на расстоянии \(a/2\) по оси \(x\), \(a/2\) по оси \(y\) и \(a/2\) по оси \(z\) от центра \(O\). Точка приложения \(A_2 = (a/2, a/2, a/2)\). Вектор силы \(F_2\) направлен вдоль диагонали грани, лежащей в плоскости \(yz\), от точки \((a/2, 0, 0)\) к точке \((a/2, a, a)\). Это означает, что проекции вектора \(F_2\) на оси \(y\) и \(z\) равны. Пусть вектор \( \vec{F_2} = (F_{2x}, F_{2y}, F_{2z}) \). Из рисунка видно, что \(F_{2x} = 0\). Проекции \(F_{2y}\) и \(F_{2z}\) положительны. Модуль силы \(F_2 = \sqrt{F_{2y}^2 + F_{2z}^2}\). Так как вектор направлен по диагонали грани, то \(F_{2y} = F_{2z}\). Тогда \(F_2 = \sqrt{F_{2y}^2 + F_{2y}^2} = \sqrt{2 F_{2y}^2} = F_{2y} \sqrt{2}\). Отсюда \(F_{2y} = F_{2z} = \frac{F_2}{\sqrt{2}}\). Значит, вектор силы \( \vec{F_2} = \left(0, \frac{F_2}{\sqrt{2}}, \frac{F_2}{\sqrt{2}}\right) \). Подставим значение \(F_2 = 2,9\) Н: \( \vec{F_2} = \left(0, \frac{2,9}{\sqrt{2}}, \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right) \approx (0, 2,05, 2,05) \) Н. 2. Определим радиус-векторы точек приложения сил относительно центра приведения \(O\). Радиус-вектор для силы \(F_1\): \( \vec{r_1} = \vec{OA_1} = (a/2, 0, 0) = (9/2, 0, 0) = (4,5, 0, 0) \) м. Радиус-вектор для силы \(F_2\): \( \vec{r_2} = \vec{OA_2} = (a/2, a/2, a/2) = (9/2, 9/2, 9/2) = (4,5, 4,5, 4,5) \) м. 3. Вычислим моменты сил относительно точки \(O\). Момент силы \( \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \). Момент силы \(F_1\): \( \vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4,5 & 0 & 0 \\ -9,6 & 0 & 0 \end{vmatrix} \) \( \vec{M_1} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(4,5 \cdot 0 - 0 \cdot (-9,6)) + \vec{k}(4,5 \cdot 0 - 0 \cdot (-9,6)) = (0, 0, 0) \) Н·м. Это логично, так как вектор силы \(F_1\) параллелен радиус-вектору \(r_1\). Момент силы \(F_2\): \( \vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4,5 & 4,5 & 4,5 \\ 0 & \frac{2,9}{\sqrt{2}} & \frac{2,9}{\sqrt{2}} \end{vmatrix} \) \( \vec{M_2} = \vec{i}\left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}} - 4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right) - \vec{j}\left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}} - 4,5 \cdot 0\right) + \vec{k}\left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}} - 4,5 \cdot 0\right) \) \( \vec{M_2} = \vec{i}(0) - \vec{j}\left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right) + \vec{k}\left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right) \) \( \vec{M_2} = \left(0, -4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}, 4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right) \) Н·м. Вычислим значение: \( 4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}} \approx 4,5 \cdot 2,0506 \approx 9,2277 \) \( \vec{M_2} \approx (0, -9,2277, 9,2277) \) Н·м. 4. Определим главный момент системы сил относительно точки \(O\). Главный момент \( \vec{M_O} \) равен сумме моментов всех сил относительно точки \(O\). \( \vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2} \) \( \vec{M_O} = (0, 0, 0) + (0, -9,2277, 9,2277) = (0, -9,2277, 9,2277) \) Н·м. 5. Вычислим модуль главного момента. Модуль вектора \( \vec{M_O} = \sqrt{M_{Ox}^2 + M_{Oy}^2 + M_{Oz}^2} \) \( |\vec{M_O}| = \sqrt{0^2 + (-9,2277)^2 + (9,2277)^2} \) \( |\vec{M_O}| = \sqrt{2 \cdot (9,2277)^2} = 9,2277 \cdot \sqrt{2} \) \( |\vec{M_O}| = 4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 4,5 \cdot 2,9 \) \( |\vec{M_O}| = 13,05 \) Н·м. Ответ: Модуль главного момента системы сил относительно точки \(O\) равен \(13,05\) Н·м. Для удобства переписывания в тетрадь: Заголовок: Решение задачи по статике Дано: Куб с ребром \(a = 9\) м. Сила \(F_1 = 9,6\) Н. Сила \(F_2 = 2,9\) Н. Центр приведения - точка \(O\). Найти: Модуль главного момента \(|\vec{M_O}|\). Решение: 1. Определим координаты точек приложения сил и их векторы. Начало координат находится в точке \(O\). Для силы \(F_1\): Точка приложения \(A_1 = (a/2, 0, 0) = (9/2, 0, 0) = (4,5, 0, 0)\) м. Вектор силы \( \vec{F_1} = (-F_1, 0, 0) = (-9,6, 0, 0) \) Н. Для силы \(F_2\): Точка приложения \(A_2 = (a/2, a/2, a/2) = (9/2, 9/2, 9/2) = (4,5, 4,5, 4,5)\) м. Вектор силы \(F_2\) направлен вдоль диагонали грани в плоскости \(yz\), поэтому его проекции на оси \(y\) и \(z\) равны. \(F_{2y} = F_{2z} = \frac{F_2}{\sqrt{2}}\). \( \vec{F_2} = \left(0, \frac{F_2}{\sqrt{2}}, \frac{F_2}{\sqrt{2}}\right) = \left(0, \frac{2,9}{\sqrt{2}}, \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right) \) Н. 2. Определим радиус-векторы точек приложения сил относительно точки \(O\). \( \vec{r_1} = \vec{OA_1} = (4,5, 0, 0) \) м. \( \vec{r_2} = \vec{OA_2} = (4,5, 4,5, 4,5) \) м. 3. Вычислим моменты сил относительно точки \(O\). Формула для момента силы: \( \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \). Момент силы \(F_1\): \( \vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4,5 & 0 & 0 \\ -9,6 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 0) \) Н·м. (Так как \( \vec{r_1} \) и \( \vec{F_1} \) коллинеарны). Момент силы \(F_2\): \( \vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4,5 & 4,5 & 4,5 \\ 0 & \frac{2,9}{\sqrt{2}} & \frac{2,9}{\sqrt{2}} \end{vmatrix} \) \( \vec{M_2} = \vec{i}\left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}} - 4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right) - \vec{j}\left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}} - 4,5 \cdot 0\right) + \vec{k}\left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}} - 4,5 \cdot 0\right) \) \( \vec{M_2} = (0, -4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}, 4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}) \) Н·м. 4. Определим главный момент системы сил относительно точки \(O\). \( \vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2} = (0, 0, 0) + (0, -4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}, 4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}) \) \( \vec{M_O} = (0, -4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}, 4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}) \) Н·м. 5. Вычислим модуль главного момента. \( |\vec{M_O}| = \sqrt{M_{Ox}^2 + M_{Oy}^2 + M_{Oz}^2} \) \( |\vec{M_O}| = \sqrt{0^2 + \left(-4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right)^2} \) \( |\vec{M_O}| = \sqrt{2 \cdot \left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right)^2} \) \( |\vec{M_O}| = \sqrt{2} \cdot \left(4,5 \cdot \frac{2,9}{\sqrt{2}}\right) \) \( |\vec{M_O}| = 4,5 \cdot 2,9 \) \( |\vec{M_O}| = 13,05 \) Н·м. Ответ: \(13,05\) Н·м.