Решение задачи: Векторная алгебра. Пирамида ABCD

Вот решение вашей задачи по векторной алгебре. Координаты вершин пирамиды ABCD: A(6, -4, -2) B(1, 5, 4) C(2, 3, -4) D(2, 1, 1) 1. Чертеж. Для выполнения чертежа вам потребуется миллиметровая бумага или тетрадь в клетку. Нарисуйте три взаимно перпендикулярные оси координат: ось X (горизонтально вправо), ось Y (горизонтально вверх или влево, в зависимости от проекции), ось Z (вертикально вверх). Отметьте на осях единичные отрезки. Затем последовательно отметьте точки A, B, C, D по их координатам. Соедините точки A, B, C, D, чтобы получить пирамиду. (К сожалению, я не могу нарисовать чертеж здесь, но описал, как это сделать). 2. Запишите в координатной форме векторы: \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\). Для нахождения координат вектора нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора. Вектор \(\vec{AB}\): Начало A(6, -4, -2) Конец B(1, 5, 4) \(\vec{AB} = (1 - 6; 5 - (-4); 4 - (-2))\) \(\vec{AB} = (-5; 9; 6)\) Вектор \(\vec{AC}\): Начало A(6, -4, -2) Конец C(2, 3, -4) \(\vec{AC} = (2 - 6; 3 - (-4); -4 - (-2))\) \(\vec{AC} = (-4; 7; -2)\) Вектор \(\vec{BC}\): Начало B(1, 5, 4) Конец C(2, 3, -4) \(\vec{BC} = (2 - 1; 3 - 5; -4 - 4)\) \(\vec{BC} = (1; -2; -8)\) 3. Определите длины и направляющие косинусы векторов: \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{BC}\). Длина вектора (модуль вектора) \(\vec{a} = (x; y; z)\) вычисляется по формуле: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). Направляющие косинусы вектора \(\vec{a} = (x; y; z)\) вычисляются по формулам: \(\cos \alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}\) \(\cos \beta = \frac{y}{|\vec{a}|}\) \(\cos \gamma = \frac{z}{|\vec{a}|}\) Для вектора \(\vec{AB} = (-5; 9; 6)\): Длина: \(|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 9^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 81 + 36} = \sqrt{142}\) \(|\vec{AB}| \approx 11.92\) Направляющие косинусы: \(\cos \alpha_{AB} = \frac{-5}{\sqrt{142}} \approx -0.419\) \(\cos \beta_{AB} = \frac{9}{\sqrt{142}} \approx 0.755\) \(\cos \gamma_{AB} = \frac{6}{\sqrt{142}} \approx 0.503\) Для вектора \(\vec{AC} = (-4; 7; -2)\): Длина: \(|\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 49 + 4} = \sqrt{69}\) \(|\vec{AC}| \approx 8.31\) Направляющие косинусы: \(\cos \alpha_{AC} = \frac{-4}{\sqrt{69}} \approx -0.481\) \(\cos \beta_{AC} = \frac{7}{\sqrt{69}} \approx 0.843\) \(\cos \gamma_{AC} = \frac{-2}{\sqrt{69}} \approx -0.241\) Для вектора \(\vec{BC} = (1; -2; -8)\): Длина: \(|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 4 + 64} = \sqrt{69}\) \(|\vec{BC}| \approx 8.31\) Направляющие косинусы: \(\cos \alpha_{BC} = \frac{1}{\sqrt{69}} \approx 0.120\) \(\cos \beta_{BC} = \frac{-2}{\sqrt{69}} \approx -0.241\) \(\cos \gamma_{BC} = \frac{-8}{\sqrt{69}} \approx -0.963\) 4. Найдите углы треугольника АВС (по формуле скалярного произведения векторов). Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)\) и \(\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)\) вычисляется по формуле: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\). Также скалярное произведение равно: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \phi\), где \(\phi\) - угол между векторами. Отсюда, \(\cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\). Угол A (угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)): \(\vec{AB} = (-5; 9; 6)\) \(\vec{AC} = (-4; 7; -2)\) \(|\vec{AB}| = \sqrt{142}\) \(|\vec{AC}| = \sqrt{69}\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-5)(-4) + (9)(7) + (6)(-2) = 20 + 63 - 12 = 71\) \(\cos A = \frac{71}{\sqrt{142} \cdot \sqrt{69}} = \frac{71}{\sqrt{9798}} \approx \frac{71}{98.98} \approx 0.717\) \(A = \arccos(0.717) \approx 44.2^\circ\) Угол B (угол между \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\)): Вектор \(\vec{BA} = -\vec{AB} = (5; -9; -6)\) Вектор \(\vec{BC} = (1; -2; -8)\) \(|\vec{BA}| = |\vec{AB}| = \sqrt{142}\) \(|\vec{BC}| = \sqrt{69}\) \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (5)(1) + (-9)(-2) + (-6)(-8) = 5 + 18 + 48 = 71\) \(\cos B = \frac{71}{\sqrt{142} \cdot \sqrt{69}} = \frac{71}{\sqrt{9798}} \approx \frac{71}{98.98} \approx 0.717\) \(B = \arccos(0.717) \approx 44.2^\circ\) Угол C (угол между \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\)): Вектор \(\vec{CA} = -\vec{AC} = (4; -7; 2)\) Вектор \(\vec{CB} = -\vec{BC} = (-1; 2; 8)\) \(|\vec{CA}| = |\vec{AC}| = \sqrt{69}\) \(|\vec{CB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{69}\) \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (4)(-1) + (-7)(2) + (2)(8) = -4 - 14 + 16 = -2\) \(\cos C = \frac{-2}{\sqrt{69} \cdot \sqrt{69}} = \frac{-2}{69} \approx -0.029\) \(C = \arccos(-0.029) \approx 91.6^\circ\) Проверка суммы углов: \(44.2^\circ + 44.2^\circ + 91.6^\circ = 180^\circ\). Сумма углов сходится. 5. Вычислите площадь грани АВС: а) используя формулу векторного произведения векторов в координатной форме; Площадь треугольника, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), равна половине модуля их векторного произведения: \(S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|\). Векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\): \(\vec{AB} = (-5; 9; 6)\) \(\vec{AC} = (-4; 7; -2)\) \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 9 & 6 \\ -4 & 7 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 9 & 6 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -5 & 6 \\ -4 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -5 & 9 \\ -4 & 7 \end{vmatrix} \] \[ = \vec{i} (9 \cdot (-2) - 6 \cdot 7) - \vec{j} ((-5) \cdot (-2) - 6 \cdot (-4)) + \vec{k} ((-5) \cdot 7 - 9 \cdot (-4)) \] \[ = \vec{i} (-18 - 42) - \vec{j} (10 + 24) + \vec{k} (-35 + 36) \] \[ = -60\vec{i} - 34\vec{j} + 1\vec{k} \] Таким образом, \(\vec{AB} \times \vec{AC} = (-60; -34; 1)\). Модуль векторного произведения: \(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-60)^2 + (-34)^2 + 1^2} = \sqrt{3600 + 1156 + 1} = \sqrt{4757}\) \(|\vec{AB} \times \vec{AC}| \approx 68.97\) Площадь грани АВС: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{4757} \approx \frac{1}{2} \cdot 68.97 \approx 34.485\) квадратных единиц. б) по формуле Герона. Формула Герона для площади треугольника: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p\) - полупериметр, \(a, b, c\) - длины сторон. Длины сторон: \(a = |\vec{BC}| = \sqrt{69}\) \(b = |\vec{AC}| = \sqrt{69}\) \(c = |\vec{AB}| = \sqrt{142}\) Полупериметр \(p = \frac{|\vec{AB}| + |\vec{AC}| + |\vec{BC}|}{2} = \frac{\sqrt{142} + \sqrt{69} + \sqrt{69}}{2} = \frac{\sqrt{142} + 2\sqrt{69}}{2}\) \(p \approx \frac{11.92 + 2 \cdot 8.31}{2} = \frac{11.92 + 16.62}{2} = \frac{28.54}{2} = 14.27\) \(p - a = \frac{\sqrt{142} + 2\sqrt{69}}{2} - \sqrt{69} = \frac{\sqrt{142} + 2\sqrt{69} - 2\sqrt{69}}{2} = \frac{\sqrt{142}}{2}\) \(p - b = \frac{\sqrt{142}}{2}\) \(p - c = \frac{\sqrt{142} + 2\sqrt{69}}{2} - \sqrt{142} = \frac{\sqrt{142} + 2\sqrt{69} - 2\sqrt{142}}{2} = \frac{2\sqrt{69} - \sqrt{142}}{2}\) \(S_{ABC} = \sqrt{\frac{\sqrt{142} + 2\sqrt{69}}{2} \cdot \frac{\sqrt{142}}{2} \cdot \frac{\sqrt{142}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{69} - \sqrt{142}}{2}}\) \(S_{ABC} = \sqrt{\frac{(\sqrt{142} + 2\sqrt{69})(2\sqrt{69} - \sqrt{142}) \cdot (\sqrt{142})^2}{16}}\) Заметим, что \((\sqrt{142} + 2\sqrt{69})(2\sqrt{69} - \sqrt{142}) = (2\sqrt{69})^2 - (\sqrt{142})^2 = 4 \cdot 69 - 142 = 276 - 142 = 134\). \(S_{ABC} = \sqrt{\frac{134 \cdot 142}{16}} = \sqrt{\frac{19028}{16}} = \sqrt{1189.25}\) \(S_{ABC} \approx 34.485\) квадратных единиц. Результаты совпадают, что подтверждает правильность вычислений. 6. Вычислите объем пирамиды АBCD: а) по формуле смешанного произведения векторов в координатной форме; Объем пирамиды, построенной на векторах \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\), равен \(\frac{1}{6}\) модуля их смешанного произведения: \(V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\). Нам нужны векторы, исходящие из одной вершины, например, \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\). Мы уже нашли \(\vec{AB} = (-5; 9; 6)\) и \(\vec{AC} = (-4; 7; -2)\). Найдем \(\vec{AD}\): Начало A(6, -4, -2) Конец D(2, 1, 1) \(\vec{AD} = (2 - 6; 1 - (-4); 1 - (-2))\) \(\vec{AD} = (-4; 5; 3)\) Смешанное произведение \(( \vec{AB} \times \vec{AC} ) \cdot \vec{AD}\) можно вычислить как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов: \[ (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = \begin{vmatrix} -5 & 9 & 6 \\ -4 & 7 & -2 \\ -4 & 5 & 3 \end{vmatrix} \] Раскроем определитель по первой строке: \[ = -5 \begin{vmatrix} 7 & -2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix