Решение задачи по векторной алгебре

Вот решение вашей задачи по векторной алгебре. Координаты вершин пирамиды ABCD: A(6; 4; -2) B(1; 5; 4) C(2; 3; -4) D(2; 1; 1) 1. Сделайте чертеж. (Для выполнения чертежа вам потребуется миллиметровая бумага или тетрадь в клетку. Отметьте оси координат X, Y, Z. Затем нанесите точки A, B, C, D в соответствии с их координатами. Соедините точки A, B, C, D, чтобы получить пирамиду. Это задание выполняется вручную.) 2. Запишите в координатной форме векторы: \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) и \( \vec{BC} \). Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора. Вектор \( \vec{AB} \): \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \) \( \vec{AB} = (1 - 6; 5 - 4; 4 - (-2)) \) \( \vec{AB} = (-5; 1; 6) \) Вектор \( \vec{AC} \): \( \vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) \) \( \vec{AC} = (2 - 6; 3 - 4; -4 - (-2)) \) \( \vec{AC} = (-4; -1; -2) \) Вектор \( \vec{BC} \): \( \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) \) \( \vec{BC} = (2 - 1; 3 - 5; -4 - 4) \) \( \vec{BC} = (1; -2; -8) \) 3. Определите длины и направляющие косинусы векторов: \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) и \( \vec{BC} \). Длина вектора (модуль вектора) \( \vec{a} = (x; y; z) \) вычисляется по формуле: \( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \). Направляющие косинусы вектора \( \vec{a} = (x; y; z) \) вычисляются по формулам: \( \cos \alpha = \frac{x}{|\vec{a}|} \) \( \cos \beta = \frac{y}{|\vec{a}|} \) \( \cos \gamma = \frac{z}{|\vec{a}|} \) Для вектора \( \vec{AB} = (-5; 1; 6) \): Длина \( |\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 1 + 36} = \sqrt{62} \) \( |\vec{AB}| \approx 7.87 \) Направляющие косинусы \( \vec{AB} \): \( \cos \alpha_{AB} = \frac{-5}{\sqrt{62}} \approx -0.634 \) \( \cos \beta_{AB} = \frac{1}{\sqrt{62}} \approx 0.127 \) \( \cos \gamma_{AB} = \frac{6}{\sqrt{62}} \approx 0.761 \) Для вектора \( \vec{AC} = (-4; -1; -2) \): Длина \( |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \) \( |\vec{AC}| \approx 4.58 \) Направляющие косинусы \( \vec{AC} \): \( \cos \alpha_{AC} = \frac{-4}{\sqrt{21}} \approx -0.873 \) \( \cos \beta_{AC} = \frac{-1}{\sqrt{21}} \approx -0.218 \) \( \cos \gamma_{AC} = \frac{-2}{\sqrt{21}} \approx -0.436 \) Для вектора \( \vec{BC} = (1; -2; -8) \): Длина \( |\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 4 + 64} = \sqrt{69} \) \( |\vec{BC}| \approx 8.31 \) Направляющие косинусы \( \vec{BC} \): \( \cos \alpha_{BC} = \frac{1}{\sqrt{69}} \approx 0.120 \) \( \cos \beta_{BC} = \frac{-2}{\sqrt{69}} \approx -0.241 \) \( \cos \gamma_{BC} = \frac{-8}{\sqrt{69}} \approx -0.963 \) 4. Найдите углы треугольника АВС (по формуле скалярного произведения векторов). Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (x_1; y_1; z_1) \) и \( \vec{b} = (x_2; y_2; z_2) \) вычисляется по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \) Также скалярное произведение равно: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \phi \), где \( \phi \) - угол между векторами. Отсюда: \( \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \) Угол А (угол между \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \)): \( \vec{AB} = (-5; 1; 6) \) \( \vec{AC} = (-4; -1; -2) \) \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-5)(-4) + (1)(-1) + (6)(-2) = 20 - 1 - 12 = 7 \) \( |\vec{AB}| = \sqrt{62} \) \( |\vec{AC}| = \sqrt{21} \) \( \cos A = \frac{7}{\sqrt{62} \cdot \sqrt{21}} = \frac{7}{\sqrt{1302}} \approx \frac{7}{36.08} \approx 0.194 \) \( A = \arccos(0.194) \approx 78.8^\circ \) Угол B (угол между \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \)): Вектор \( \vec{BA} = -\vec{AB} = (5; -1; -6) \) Вектор \( \vec{BC} = (1; -2; -8) \) \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (5)(1) + (-1)(-2) + (-6)(-8) = 5 + 2 + 48 = 55 \) \( |\vec{BA}| = |\vec{AB}| = \sqrt{62} \) \( |\vec{BC}| = \sqrt{69} \) \( \cos B = \frac{55}{\sqrt{62} \cdot \sqrt{69}} = \frac{55}{\sqrt{4278}} \approx \frac{55}{65.40} \approx 0.841 \) \( B = \arccos(0.841) \approx 32.7^\circ \) Угол C (угол между \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \)): Вектор \( \vec{CA} = -\vec{AC} = (4; 1; 2) \) Вектор \( \vec{CB} = -\vec{BC} = (-1; 2; 8) \) \( \vec{CA} \cdot \vec{CB} = (4)(-1) + (1)(2) + (2)(8) = -4 + 2 + 16 = 14 \) \( |\vec{CA}| = |\vec{AC}| = \sqrt{21} \) \( |\vec{CB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{69} \) \( \cos C = \frac{14}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{69}} = \frac{14}{\sqrt{1449}} \approx \frac{14}{38.07} \approx 0.368 \) \( C = \arccos(0.368) \approx 68.4^\circ \) Проверка суммы углов: \( 78.8^\circ + 32.7^\circ + 68.4^\circ = 179.9^\circ \). Небольшое расхождение из-за округлений. 5. Вычислите площадь грани АВС: а) используя формулу векторного произведения векторов в координатной форме; б) по формуле Герона. а) Площадь треугольника АВС с использованием векторного произведения: Площадь треугольника, построенного на векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), равна половине модуля их векторного произведения: \( S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| \). Векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \): \( \vec{AB} = (-5; 1; 6) \) \( \vec{AC} = (-4; -1; -2) \) \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 1 & 6 \\ -4 & -1 & -2 \end{vmatrix} \] \( = \vec{i} \cdot (1 \cdot (-2) - 6 \cdot (-1)) - \vec{j} \cdot ((-5) \cdot (-2) - 6 \cdot (-4)) + \vec{k} \cdot ((-5) \cdot (-1) - 1 \cdot (-4)) \) \( = \vec{i} \cdot (-2 + 6) - \vec{j} \cdot (10 + 24) + \vec{k} \cdot (5 + 4) \) \( = 4\vec{i} - 34\vec{j} + 9\vec{k} \) Таким образом, \( \vec{AB} \times \vec{AC} = (4; -34; 9) \). Модуль этого вектора: \( |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-34)^2 + 9^2} = \sqrt{16 + 1156 + 81} = \sqrt{1253} \) \( |\vec{AB} \times \vec{AC}| \approx 35.39 \) Площадь грани АВС: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{1253} \approx \frac{1}{2} \cdot 35.39 \approx 17.695 \) б) Площадь грани АВС по формуле Герона: Формула Герона: \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), где \( p \) - полупериметр, \( a, b, c \) - длины сторон треугольника. Длины сторон: \( a = |\vec{BC}| = \sqrt{69} \approx 8.306 \) \( b = |\vec{AC}| = \sqrt{21} \approx 4.583 \) \( c = |\vec{AB}| = \sqrt{62} \approx 7.874 \) Полупериметр \( p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{\sqrt{69} + \sqrt{21} + \sqrt{62}}{2} \approx \frac{8.306 + 4.583 + 7.874}{2} = \frac{20.763}{2} = 10.3815 \) \( p-a = 10.3815 - 8.306 = 2.0755 \) \( p-b = 10.3815 - 4.583 = 5.7985 \) \( p-c = 10.3815 - 7.874 = 2.5075 \) \( S_{ABC} = \sqrt{10.3815 \cdot 2.0755 \cdot 5.7985 \cdot 2.5075} \) \( S_{ABC} = \sqrt{312.99} \approx 17.691 \) Результаты по обеим формулам очень близки, что подтверждает правильность вычислений. 6. Вычислите объем пирамиды АBCD: а) по формуле смешанного произведения векторов в координатной форме; б) по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h \). а) Объем пирамиды ABCD по формуле смешанного произведения: Объем пирамиды, построенной на векторах \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \), равен \( V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| \). В качестве векторов можно взять \( \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} \). Мы уже нашли \( \vec{AB} = (-5; 1; 6) \) и \( \vec{AC} = (-4; -1; -2) \). Найдем вектор \( \vec{AD} \): \( \vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) \) \( \vec{AD} = (2 - 6; 1 - 4; 1 - (-2)) \) \( \vec{AD} = (-4; -3; 3) \) Смешанное произведение \( (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} \): Мы уже вычислили \( \vec{AB} \times \vec{AC} = (4; -34; 9) \). Теперь найдем скалярное произведение этого вектора с \( \vec{AD} \): \( (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = (4)(-4) + (-34)(-3) + (9)(3) \) \( = -16 + 102 + 27 = 113 \) Объем пирамиды: \( V_{ABCD} = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}| = \frac{1}{6} |113| = \frac{113}{6} \approx 18.833 \) б) Объем пирамиды по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h \): Здесь \( S_{ABC} \) - площадь основания (грани АВС), а \( h \) - высота пирамиды, опущенная из вершины D на плоскость АВС. Мы уже нашли \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{1253} \approx 17.695 \). Высота \( h \) - это расстояние от точки D до плоскости, проходящей через точки A, B, C. Уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C, можно найти, используя нормальный вектор \( \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (4; -34; 9) \). Уравнение плоскости имеет вид \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Здесь \( A=4, B=-34, C=9 \). \( 4x - 34y + 9z + D = 0 \) Подставим координаты точки A(6; 4; -2) в уравнение, чтобы найти D: \( 4(6) - 34(4) + 9(-2) + D = 0 \) \( 24 - 136 - 18 + D = 0 \) \( -130 + D = 0 \) \( D = 130 \) Уравнение плоско