help_outline
Условие задачи
Интеграл от функции комплексной переменной
lightbulb
Краткий ответ
Интеграл от функции комплексной переменной определяется как интеграл от функции комплексной переменной вдоль кривой в комплексной плоскости. Он играет важную роль в комплексном анализе и имеет приложения в различных областях.
Интеграл от функции комплексной переменной — это одна из фундаментальных концепций в комплексном анализе, которая имеет множество применений в математике, физике и инженерии.
Определение интеграла от функции комплексной переменной
Пусть \(f(z)\) — функция комплексной переменной \(z = x + iy\), и пусть \(C\) — кусочно-гладкая кривая в комплексной плоскости, параметризованная как \(z(t) = x(t) + iy(t)\) для \(a \le t \le b\). Тогда интеграл от функции \(f(z)\) по кривой \(C\) определяется как:
\[ \int_C f(z) dz = \int_a^b f(z(t)) z'(t) dt \]
Здесь \(z'(t) = x'(t) + iy'(t)\) — производная параметризации кривой по параметру \(t\).
Свойства интеграла от функции комплексной переменной
1. Линейность:
\[ \int_C [c_1 f(z) + c_2 g(z)] dz = c_1 \int_C f(z) dz + c_2 \int_C g(z) dz \]
где \(c_1\) и \(c_2\) — комплексные константы.
2. Изменение направления пути:
\[ \int_{-C} f(z) dz = - \int_C f(z) dz \]
где \(-C\) обозначает тот же путь, но проходимый в обратном направлении.
3. Разбиение пути: Если путь \(C\) состоит из двух частей \(C_1\) и \(C_2\), то
\[ \int_C f(z) dz = \int_{C_1} f(z) dz + \int_{C_2} f(z) dz \]
Пример вычисления интеграла
Вычислим интеграл \(\int_C z^2 dz\), где \(C\) — отрезок прямой от \(z=0\) до \(z=1+i\).
1. Параметризация пути:
Отрезок прямой от \(z=0\) до \(z=1+i\) можно параметризовать как \(z(t) = t(1+i)\) для \(0 \le t \le 1\).
Тогда \(z'(t) = 1+i\).
2. Подстановка в формулу:
\[ \int_C z^2 dz = \int_0^1 (t(1+i))^2 (1+i) dt \]
\[ = \int_0^1 t^2 (1+i)^2 (1+i) dt \]
\[ = \int_0^1 t^2 (1+i)^3 dt \]
3. Вычисление \((1+i)^3\):
\[ (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \]
\[ (1+i)^3 = (1+i)^2 (1+i) = 2i (1+i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 \]
4. Продолжение вычисления интеграла:
\[ \int_0^1 t^2 (2i - 2) dt = (2i - 2) \int_0^1 t^2 dt \]
\[ = (2i - 2) \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 \]
\[ = (2i - 2) \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \]
\[ = (2i - 2) \frac{1}{3} \]
\[ = \frac{2i - 2}{3} \]
\[ = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3}i \]
Теорема Коши
Одной из важнейших теорем в комплексном анализе, касающихся интегралов, является теорема Коши.
Теорема Коши: Если функция \(f(z)\) аналитична (голоморфна) в односвязной области \(D\), и \(C\) — любой замкнутый контур, лежащий в \(D\), то
\[ \oint_C f(z) dz = 0 \]
Эта теорема значительно упрощает вычисление интегралов для аналитических функций по замкнутым контурам.
Интегральная формула Коши
Еще одна фундаментальная теорема, вытекающая из теоремы Коши, — это интегральная формула Коши.
Интегральная формула Коши: Если функция \(f(z)\) аналитична в односвязной области \(D\), и \(C\) — простой замкнутый контур, лежащий в \(D\), ориентированный против часовой стрелки, и точка \(z_0\) лежит внутри \(C\), то
\[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz \]
Эта формула позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке внутри контура, зная её значения на самом контуре. Она также может быть обобщена для вычисления производных аналитических функций:
\[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz \]
Заключение
Интеграл от функции комплексной переменной является мощным инструментом для анализа функций в комплексной плоскости. Он лежит в основе многих важных теорем, таких как теорема Коши и интегральная формула Коши, которые имеют широкое применение в различных областях науки и техники. Понимание этих концепций является ключом к освоению комплексного анализа.
