Задача 451: Сложение колебаний. Решение методом векторных диаграмм

Задача №451 Дано: \(X_1 = 0,02 \cdot \sin(5\pi t + \pi/2) \, \text{м}\) \(X_2 = 0,03 \cdot \sin(5\pi t + \pi/4) \, \text{м}\) _________________ \(A - ?\) \(\varphi - ?\) Решение: Уравнения колебаний имеют вид \(X = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)\). Выпишем параметры каждого колебания: \(A_1 = 0,02 \, \text{м}\), \(\varphi_1 = \pi/2 = 90^\circ\) \(A_2 = 0,03 \, \text{м}\), \(\varphi_2 = \pi/4 = 45^\circ\) Для нахождения результирующей амплитуды \(A\) воспользуемся методом векторных диаграмм (согласно правилу сложения векторов): \[ A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_2 - \varphi_1)} \] Разность фаз: \[ \Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = \pi/4 - \pi/2 = -\pi/4 \] Так как \(\cos(-\pi/4) = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707\): \[ A = \sqrt{0,02^2 + 0,03^2 + 2 \cdot 0,02 \cdot 0,03 \cdot \cos(-\pi/4)} \] \[ A = \sqrt{0,0004 + 0,0009 + 0,0012 \cdot 0,707} \] \[ A = \sqrt{0,0013 + 0,0008484} = \sqrt{0,0021484} \approx 0,046 \, \text{м} \] Начальную фазу результирующего колебания \(\varphi\) найдем по формуле: \[ \text{tg} \varphi = \frac{A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2}{A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2} \] Подставим значения (\(\sin 90^\circ = 1\), \(\cos 90^\circ = 0\), \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)): \[ \text{tg} \varphi = \frac{0,02 \cdot 1 + 0,03 \cdot 0,707}{0,02 \cdot 0 + 0,03 \cdot 0,707} = \frac{0,02 + 0,02121}{0,02121} = \frac{0,04121}{0,02121} \approx 1,943 \] Находим угол через арктангенс: \[ \varphi = \text{arctg}(1,943) \approx 1,096 \, \text{рад} \] В градусах это примерно \(62,8^\circ\). Ответ: \(A \approx 0,046 \, \text{м}\); \(\varphi \approx 1,1 \, \text{рад}\).