Решение определенного интеграла ∫(3sin(x) + x²) dx от 0 до π

Задание: Вычислить определенный интеграл. Решение: Для решения воспользуемся свойством линейности определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и формулой Ньютона-Лейбница. \[ \int_{0}^{\pi} (3 \sin x + x^2) dx \] 1. Разобьем интеграл на два отдельных слагаемых: \[ \int_{0}^{\pi} 3 \sin x \, dx + \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx \] 2. Вынесем константу за знак интеграла: \[ 3 \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx + \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx \] 3. Найдем первообразные для каждой функции: - Первообразная для \( \sin x \) равна \( -\cos x \). - Первообразная для \( x^2 \) равна \( \frac{x^3}{3} \). 4. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \[ \left. -3 \cos x \right|_0^{\pi} + \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^{\pi} \] 5. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \[ (-3 \cos \pi - (-3 \cos 0)) + \left( \frac{\pi^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \] 6. Вычислим значения тригонометрических функций (\( \cos \pi = -1 \), \( \cos 0 = 1 \)): \[ (-3 \cdot (-1) + 3 \cdot 1) + \frac{\pi^3}{3} \] \[ (3 + 3) + \frac{\pi^3}{3} \] \[ 6 + \frac{\pi^3}{3} \] Ответ: \( 6 + \frac{\pi^3}{3} \)