Задача
Какое наименьшее число штрихов должна содержать решетка, чтобы в спектре первого порядка можно было разрешить две желтые линии натрия с длинами волн 589 нм и 589,6 нм. Какова длина такой решетки, если постоянная решетки 10 мкм?Дано:
Постоянная решетки \(d = 10 \text{ мкм} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ м}\)Порядок спектра \(k = 1\)
Длина волны первой линии \(\lambda_1 = 589 \text{ нм} = 589 \cdot 10^{-9} \text{ м}\)
Длина волны второй линии \(\lambda_2 = 589,6 \text{ нм} = 589,6 \cdot 10^{-9} \text{ м}\)
Найти:
Наименьшее число штрихов \(N = ?\)Длина решетки \(L = ?\)
Анализ и решение:
Для того чтобы разрешить две близкие спектральные линии, необходимо, чтобы разрешающая способность дифракционной решетки была не меньше, чем отношение средней длины волны к разности длин волн этих линий. Разрешающая способность дифракционной решетки \(R\) определяется формулой: \[R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda}\] где \(\lambda\) - средняя длина волны, а \(\Delta\lambda\) - разность длин волн. Средняя длина волны \(\lambda\) находится как: \[\lambda = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2}\] \[\lambda = \frac{589 \text{ нм} + 589,6 \text{ нм}}{2} = \frac{1178,6 \text{ нм}}{2} = 589,3 \text{ нм}\] Разность длин волн \(\Delta\lambda\) равна: \[\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1\] \[\Delta\lambda = 589,6 \text{ нм} - 589 \text{ нм} = 0,6 \text{ нм}\] Теперь найдем требуемую разрешающую способность: \[R = \frac{589,3 \text{ нм}}{0,6 \text{ нм}} \approx 982,17\] Поскольку число штрихов должно быть целым, округляем в большую сторону, чтобы обеспечить разрешение: \[R \approx 983\] Разрешающая способность дифракционной решетки также связана с числом штрихов \(N\) и порядком спектра \(k\) по формуле: \[R = N \cdot k\] Отсюда мы можем найти наименьшее число штрихов \(N\): \[N = \frac{R}{k}\] В нашем случае порядок спектра \(k = 1\), поэтому: \[N = \frac{983}{1} = 983\] Таким образом, решетка должна содержать не менее 983 штрихов. Теперь найдем общую длину решетки \(L\). Длина решетки равна произведению числа штрихов на постоянную решетки: \[L = N \cdot d\] Подставляем значения: \[L = 983 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \text{ м}\] \[L = 9830 \cdot 10^{-6} \text{ м}\] \[L = 9,83 \cdot 10^{-3} \text{ м}\] Переведем в миллиметры: \[L = 9,83 \text{ мм}\]Ответ:
Наименьшее число штрихов, которое должна содержать решетка, равно 983.Длина такой решетки составляет 9,83 мм.