Решение задачи: вычисление расстояния PM в геометрии

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь: Решение задачи: Дано: * Точка К удалена от плоскости \(\alpha\) на 90 см. * Из точки К проведены наклонные KP и KM к плоскости \(\alpha\). * Угол между наклонными \(\angle PKM = 90^\circ\). * Угол между наклонной KP и плоскостью \(\alpha\) равен \(45^\circ\). * Угол между наклонной KM и плоскостью \(\alpha\) равен \(30^\circ\). Найти: * Расстояние PM. Построение: 1. Опустим перпендикуляр KO из точки K на плоскость \(\alpha\). Точка O — основание перпендикуляра. 2. Тогда KO — это расстояние от точки K до плоскости \(\alpha\), то есть \(KO = 90\) см. 3. OP — проекция наклонной KP на плоскость \(\alpha\). 4. OM — проекция наклонной KM на плоскость \(\alpha\). 5. Треугольники KOP и KOM — прямоугольные, так как KO перпендикулярно плоскости \(\alpha\), а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через O. Решение: Шаг 1: Найдем длину проекции OP. Рассмотрим прямоугольный треугольник KOP. Угол между наклонной KP и плоскостью \(\alpha\) — это угол \(\angle KPO = 45^\circ\). Мы знаем \(KO = 90\) см. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \[\text{tg}(\angle KPO) = \frac{KO}{OP}\] \[\text{tg}(45^\circ) = \frac{90}{OP}\] Так как \(\text{tg}(45^\circ) = 1\), получаем: \[1 = \frac{90}{OP}\] \[OP = 90 \text{ см}\] Шаг 2: Найдем длину проекции OM. Рассмотрим прямоугольный треугольник KOM. Угол между наклонной KM и плоскостью \(\alpha\) — это угол \(\angle KMO = 30^\circ\). Мы знаем \(KO = 90\) см. \[\text{tg}(\angle KMO) = \frac{KO}{OM}\] \[\text{tg}(30^\circ) = \frac{90}{OM}\] Так как \(\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), получаем: \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{90}{OM}\] \[OM = 90 \cdot \sqrt{3} \text{ см}\] Шаг 3: Найдем расстояние PM. Мы знаем, что наклонные KP и KM образуют между собой прямой угол, то есть \(\angle PKM = 90^\circ\). По теореме о трех перпендикулярах: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот, если прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции. В нашем случае, если \(\angle PKM = 90^\circ\), то треугольник PKM — прямоугольный. Однако, это не означает, что треугольник POM тоже прямоугольный. Важно: Угол между наклонными KP и KM равен \(90^\circ\). Рассмотрим треугольник PKM. Он прямоугольный с прямым углом при вершине K. По теореме Пифагора для треугольника PKM: \[PM^2 = KP^2 + KM^2\] Шаг 4: Найдем длины наклонных KP и KM. Из прямоугольного треугольника KOP: \[\text{sin}(\angle KPO) = \frac{KO}{KP}\] \[\text{sin}(45^\circ) = \frac{90}{KP}\] Так как \(\text{sin}(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем: \[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{90}{KP}\] \[KP = \frac{90 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{180}{\sqrt{2}} = \frac{180\sqrt{2}}{2} = 90\sqrt{2} \text{ см}\] Из прямоугольного треугольника KOM: \[\text{sin}(\angle KMO) = \frac{KO}{KM}\] \[\text{sin}(30^\circ) = \frac{90}{KM}\] Так как \(\text{sin}(30^\circ) = \frac{1}{2}\), получаем: \[\frac{1}{2} = \frac{90}{KM}\] \[KM = 90 \cdot 2 = 180 \text{ см}\] Шаг 5: Вычислим PM. Подставим значения KP и KM в формулу для PM: \[PM^2 = (90\sqrt{2})^2 + (180)^2\] \[PM^2 = (90^2 \cdot (\sqrt{2})^2) + 180^2\] \[PM^2 = (8100 \cdot 2) + 32400\] \[PM^2 = 16200 + 32400\] \[PM^2 = 48600\] \[PM = \sqrt{48600}\] Разложим 48600 на множители: \(48600 = 486 \cdot 100 = 2 \cdot 243 \cdot 100 = 2 \cdot 3^5 \cdot 100 = 2 \cdot 3^4 \cdot 3 \cdot 10^2 = 2 \cdot (3^2)^2 \cdot 3 \cdot 10^2 = 2 \cdot 9^2 \cdot 3 \cdot 10^2\) \[PM = \sqrt{100 \cdot 486} = 10\sqrt{486}\] \[PM = 10\sqrt{81 \cdot 6} = 10 \cdot 9\sqrt{6} = 90\sqrt{6} \text{ см}\] Ответ: Расстояние PM равно \(90\sqrt{6}\) см.