Доказательство: 1/17 + 1/18 + ... + 1/64 < 2

Давайте докажем, что сумма дробей от 1/17 до 1/64 меньше 2. Для этого мы можем разбить сумму на две части и оценить каждую часть отдельно. Сумма, которую нам нужно оценить, выглядит так: \[ S = \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{64} \] Всего в этой сумме \(64 - 17 + 1 = 48\) слагаемых. Разобьем сумму на две части: 1. От 1/17 до 1/32 (включительно). 2. От 1/33 до 1/64 (включительно). Часть 1: От 1/17 до 1/32 \[ S_1 = \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \dots + \frac{1}{32} \] В этой части \(32 - 17 + 1 = 16\) слагаемых. Самое большое слагаемое в этой части - это \( \frac{1}{17} \). Самое маленькое слагаемое в этой части - это \( \frac{1}{32} \). Мы можем оценить эту сумму сверху, заменив каждое слагаемое на самое большое слагаемое в этой части. \[ S_1 < \frac{1}{17} + \frac{1}{17} + \dots + \frac{1}{17} \quad \text{(16 раз)} \] \[ S_1 < 16 \cdot \frac{1}{17} = \frac{16}{17} \] Мы знаем, что \( \frac{16}{17} < 1 \). Часть 2: От 1/33 до 1/64 \[ S_2 = \frac{1}{33} + \frac{1}{34} + \dots + \frac{1}{64} \] В этой части \(64 - 33 + 1 = 32\) слагаемых. Самое большое слагаемое в этой части - это \( \frac{1}{33} \). Самое маленькое слагаемое в этой части - это \( \frac{1}{64} \). Мы можем оценить эту сумму сверху, заменив каждое слагаемое на самое большое слагаемое в этой части. \[ S_2 < \frac{1}{33} + \frac{1}{33} + \dots + \frac{1}{33} \quad \text{(32 раза)} \] \[ S_2 < 32 \cdot \frac{1}{33} = \frac{32}{33} \] Мы знаем, что \( \frac{32}{33} < 1 \). Теперь сложим оценки для \( S_1 \) и \( S_2 \): \[ S = S_1 + S_2 < \frac{16}{17} + \frac{32}{33} \] Чтобы сравнить эту сумму с 2, давайте прикинем значения: \( \frac{16}{17} \) очень близко к 1, но меньше 1. Например, \( \frac{16}{17} \approx 0.941 \). \( \frac{32}{33} \) очень близко к 1, но меньше 1. Например, \( \frac{32}{33} \approx 0.970 \). Сложим эти приближенные значения: \( 0.941 + 0.970 = 1.911 \) Это значение меньше 2. Давайте сделаем более точную оценку без приближений. \[ S < \frac{16}{17} + \frac{32}{33} \] Приведем дроби к общему знаменателю \(17 \cdot 33 = 561\): \[ \frac{16}{17} + \frac{32}{33} = \frac{16 \cdot 33}{17 \cdot 33} + \frac{32 \cdot 17}{33 \cdot 17} = \frac{528}{561} + \frac{544}{561} = \frac{528 + 544}{561} = \frac{1072}{561} \] Теперь сравним \( \frac{1072}{561} \) с 2. Чтобы \( \frac{1072}{561} < 2 \), нужно, чтобы \( 1072 < 2 \cdot 561 \). \( 2 \cdot 561 = 1122 \). Так как \( 1072 < 1122 \), то \( \frac{1072}{561} < 2 \). Таким образом, мы доказали, что: \[ S < \frac{1072}{561} < 2 \] Значит, истинность значения, что \( \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{64} < 2 \), доказана. Краткое изложение для тетради: Доказательство: Обозначим сумму как \( S \): \[ S = \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + \dots + \frac{1}{64} \] Всего в сумме \(64 - 17 + 1 = 48\) слагаемых. Разобьем сумму на две части: 1. \( S_1 = \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \dots + \frac{1}{32} \) В этой части \(32 - 17 + 1 = 16\) слагаемых. Каждое слагаемое в этой части меньше или равно \( \frac{1}{17} \). Поэтому: \[ S_1 < 16 \cdot \frac{1}{17} = \frac{16}{17} \] 2. \( S_2 = \frac{1}{33} + \frac{1}{34} + \dots + \frac{1}{64} \) В этой части \(64 - 33 + 1 = 32\) слагаемых. Каждое слагаемое в этой части меньше или равно \( \frac{1}{33} \). Поэтому: \[ S_2 < 32 \cdot \frac{1}{33} = \frac{32}{33} \] Теперь сложим оценки для \( S_1 \) и \( S_2 \): \[ S = S_1 + S_2 < \frac{16}{17} + \frac{32}{33} \] Приведем дроби к общему знаменателю \(17 \cdot 33 = 561\): \[ \frac{16}{17} + \frac{32}{33} = \frac{16 \cdot 33}{17 \cdot 33} + \frac{32 \cdot 17}{33 \cdot 17} = \frac{528}{561} + \frac{544}{561} = \frac{1072}{561} \] Теперь сравним полученную сумму с 2: \[ \frac{1072}{561} \] Чтобы сравнить с 2, умножим 2 на знаменатель: \( 2 \cdot 561 = 1122 \) Так как \( 1072 < 1122 \), то \( \frac{1072}{561} < 2 \). Следовательно, \( S < \frac{1072}{561} < 2 \). Что и требовалось доказать.