Решение задачи: Как вывести j120 и -j120

Для того чтобы понять, как получаются значения в степенях \(j120^\circ\) и \(-j120^\circ\), нужно воспользоваться формулой Эйлера. Она связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Запишем объяснение для тетради: Формула Эйлера имеет вид: \[e^{j\alpha} = \cos \alpha + j\sin \alpha\] В трехфазной системе векторы напряжений смещены друг относительно друга на угол \(120^\circ\). 1. Для фазы \(B\) угол смещения составляет \(-120^\circ\). Подставим это значение в формулу: \[e^{-j120^\circ} = \cos(-120^\circ) + j\sin(-120^\circ)\] Согласно свойствам тригонометрических функций: \[\cos(-120^\circ) = \cos(120^\circ) = -0,5\] \[\sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866\] Тогда: \[e^{-j120^\circ} = -0,5 - j0,866\] 2. Для фазы \(C\) угол смещения составляет \(+120^\circ\). Подставим его в формулу: \[e^{j120^\circ} = \cos(120^\circ) + j\sin(120^\circ)\] Значения функций: \[\cos(120^\circ) = -0,5\] \[\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\] Тогда: \[e^{j120^\circ} = -0,5 + j0,866\] Теперь, чтобы получить итоговые значения напряжений, умножим эти результаты на действующее значение фазного напряжения \(U_ф = 127\) В: Для фазы \(B\): \[\dot{U}_B = 127 \cdot (-0,5 - j0,866) = -63,5 - j109,98 \approx -63,5 - j110 \text{ В}\] Для фазы \(C\): \[\dot{U}_C = 127 \cdot (-0,5 + j0,866) = -63,5 + j109,98 \approx -63,5 + j110 \text{ В}\] Таким образом, вещественная часть \(-63,5\) получается из косинуса \(120^\circ\), а мнимая часть \(\pm j110\) получается из синуса \(120^\circ\), умноженного на величину напряжения.