Решение задачи: Площадь участка ABCD

Хорошо, давайте решим эту задачу. Задача: "План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат. Размер каждой клетки 1 м х 1 м. Найдите площадь участка ABCD, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах." На изображении показан четырёхугольник ABCD, расположенный на сетке. Каждая клетка сетки имеет площадь 1 м². Чтобы найти площадь четырёхугольника ABCD, можно использовать метод Пика или разбить фигуру на более простые части (прямоугольники и треугольники). Давайте воспользуемся методом разбиения. Мы можем заключить четырёхугольник ABCD в прямоугольник, а затем вычесть площади лишних треугольников. 1. Определим координаты вершин четырёхугольника, если считать левый нижний угол сетки за начало координат (0,0). * A: (1, 1) * B: (1, 4) * C: (5, 5) * D: (5, 2) 2. Построим прямоугольник, который охватывает четырёхугольник ABCD. Минимальная x-координата = 1 Максимальная x-координата = 5 Минимальная y-координата = 1 Максимальная y-координата = 5 Таким образом, охватывающий прямоугольник имеет вершины в точках (1,1), (5,1), (5,5), (1,5). Длина этого прямоугольника = \(5 - 1 = 4\) клетки. Ширина этого прямоугольника = \(5 - 1 = 4\) клетки. Площадь охватывающего прямоугольника = \(4 \times 4 = 16\) квадратных клеток. 3. Теперь вычтем площади треугольников, которые находятся внутри охватывающего прямоугольника, но снаружи четырёхугольника ABCD. * Треугольник 1 (верхний левый): Образован точками (1,4), (1,5), (5,5). Это не совсем треугольник, который нужно вычитать. Давайте пересмотрим. Лучше разбить фигуру на прямоугольник и два треугольника, или использовать формулу Пика. Давайте попробуем метод Пика. Формула Пика для площади многоугольника на сетке: \(S = В + \frac{Г}{2} - 1\), где * \(В\) - количество внутренних узлов (точек сетки внутри многоугольника). * \(Г\) - количество граничных узлов (точек сетки на границе многоугольника). Посчитаем граничные узлы (Г): * На отрезке AB: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4) - 4 точки. * На отрезке BC: (1,4), (2,4), (3,4), (4,5), (5,5) - 5 точек. (Обратите внимание, что (2,4) и (3,4) не лежат на прямой BC. Прямая BC проходит через (1,4) и (5,5). Уравнение прямой: \(y - 4 = \frac{5-4}{5-1}(x-1) \Rightarrow y - 4 = \frac{1}{4}(x-1) \Rightarrow 4y - 16 = x - 1 \Rightarrow x = 4y - 15\). Если \(y=4\), \(x=1\). Если \(y=5\), \(x=5\). Проверим точки: (1,4) - да. (2,4) - нет. (3,4) - нет. (4,5) - нет. (5,5) - да. Значит, на отрезке BC только 2 граничные точки: (1,4) и (5,5). * На отрезке CD: (5,5), (5,4), (5,3), (5,2) - 4 точки. * На отрезке DA: (5,2), (4,2), (3,1), (2,1), (1,1) - 5 точек. (Прямая DA проходит через (5,2) и (1,1). Уравнение прямой: \(y - 1 = \frac{2-1}{5-1}(x-1) \Rightarrow y - 1 = \frac{1}{4}(x-1) \Rightarrow 4y - 4 = x - 1 \Rightarrow x = 4y - 3\). Если \(y=1\), \(x=1\). Если \(y=2\), \(x=5\). Проверим точки: (5,2) - да. (4,2) - нет. (3,1) - нет. (2,1) - нет. (1,1) - да. Значит, на отрезке DA только 2 граничные точки: (5,2) и (1,1). Давайте пересчитаем граничные точки внимательнее, глядя на рисунок. * A=(1,1), B=(1,4), C=(5,5), D=(5,2). * На AB: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4). Всего 4 точки. * На BC: (1,4) и (5,5). Только 2 точки. * На CD: (5,5), (5,4), (5,3), (5,2). Всего 4 точки. * На DA: (5,2) и (1,1). Только 2 точки. Общее количество граничных точек \(Г = 4 + 2 + 4 + 2 = 12\). Посчитаем внутренние узлы (В): Точки внутри четырёхугольника: (2,2), (2,3), (2,4) (3,2), (3,3), (3,4) (4,3), (4,4) Всего \(В = 3 + 3 + 2 = 8\) точек. Применим формулу Пика: \(S = В + \frac{Г}{2} - 1\) \(S = 8 + \frac{12}{2} - 1\) \(S = 8 + 6 - 1\) \(S = 14 - 1\) \(S = 13\) квадратных клеток. Каждая клетка имеет площадь 1 м х 1 м = 1 м². Значит, площадь участка ABCD = 13 м². Давайте проверим другим способом. Можно разбить четырёхугольник на прямоугольник и два треугольника. Проведём горизонтальную линию от B до (5,4) и от A до (5,1). Это не очень удобно, так как фигура наклонена. Давайте заключим фигуру в прямоугольник и вычтем площади внешних треугольников. Вершины: A(1,1), B(1,4), C(5,5), D(5,2). Охватывающий прямоугольник: (1,1) - (5,1) - (5,5) - (1,5). Площадь охватывающего прямоугольника = \( (5-1) \times (5-1) = 4 \times 4 = 16 \) квадратных клеток. Теперь вычтем площади "лишних" треугольников: 1. Треугольник в левом верхнем углу: образован точками (1,4), (1,5), (5,5). Это не треугольник. Давайте рассмотрим треугольники, которые образуются между сторонами ABCD и сторонами охватывающего прямоугольника. * Треугольник 1: Вершины (1,1), (1,4), (1,1). Это сторона AB. * Треугольник 2: Вершины (1,4), (1,5), (5,5). Это не треугольник. Давайте рассмотрим четырехугольник ABCD как трапецию, если повернуть его. Или как прямоугольник, если его выровнять. Длина стороны AB: \( \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \) Длина стороны CD: \( \sqrt{(5-5)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \) Длина стороны BC: \( \sqrt{(5-1)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \) Длина стороны DA: \( \sqrt{(5-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \) Это параллелограмм, так как AB параллельна CD (обе вертикальны) и BC параллельна DA (обе имеют наклон 1/4). Высота параллелограмма - это перпендикуляр от одной стороны к другой. Если AB - основание, то высота - это расстояние между прямыми \(x=1\) и \(x=5\), но это не перпендикуляр к BC или DA. Для параллелограмма площадь можно найти как произведение длины стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Или как произведение двух смежных сторон на синус угла между ними. Это сложно для школьника. Вернемся к методу Пика. Граничные точки (Г): A(1,1), B(1,4), C(5,5), D(5,2). На AB: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4). (4 точки) На BC: (1,4) и (5,5). (2 точки) На CD: (5,2), (5,3), (5,4), (5,5). (4 точки) На DA: (1,1) и (5,2). (2 точки) Сумма: \(4+2+4+2 = 12\). Это верно. Внутренние точки (В): (2,2), (2,3) (3,2), (3,3), (3,4) (4,3), (4,4) (5,3), (5,4) - эти точки лежат на границе CD. (1,2), (1,3) - эти точки лежат на границе AB. Давайте пересчитаем внутренние точки внимательнее. Точки, которые находятся строго внутри фигуры: x=2: (2,2), (2,3) x=3: (3,2), (3,3), (3,4) x=4: (4,3), (4,4) Всего \(2+3+2 = 7\) внутренних точек. Значит, \(В = 7\). Теперь применим формулу Пика с \(В=7\) и \(Г=12\): \(S = В + \frac{Г}{2} - 1\) \(S = 7 + \frac{12}{2} - 1\) \(S = 7 + 6 - 1\) \(S = 13 - 1\) \(S = 12\) квадратных клеток. Значит, площадь участка ABCD = 12 м². Давайте проверим ещё раз, используя метод "охватывающего прямоугольника" и вычитания площадей. Вершины: A(1,1), B(1,4), C(5,5), D(5,2). Охватывающий прямоугольник: (1,1) - (5,1) - (5,5) - (1,5). Площадь охватывающего прямоугольника = \( (5-1) \times (5-1) = 4 \times 4 = 16 \) квадратных клеток. Теперь вычтем площади треугольников, которые находятся между охватывающим прямоугольником и фигурой ABCD. 1. Треугольник в левом верхнем углу: Вершины (1,4), (1,5), (5,5). Это прямоугольный треугольник с катетами: Длина по оси Y: \(5-4 = 1\) Длина по оси X: \(5-1 = 4\) Площадь этого треугольника = \( \frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2 \) квадратных клетки. (Это треугольник с вершинами (1,4), (1,5) и (5,5). Его катеты лежат на прямых \(x=1\) и \(y=5\). Длина катета по \(x\) от 1 до 5 - это 4. Длина катета по \(y\) от 4 до 5 - это 1. Площадь \( \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2 \)). 2. Треугольник в правом нижнем углу: Вершины (5,1), (5,2), (1,1). Это прямоугольный треугольник с катетами: Длина по оси Y: \(2-1 = 1\) Длина по оси X: \(5-1 = 4\) Площадь этого треугольника = \( \frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2 \) квадратных клетки. (Это треугольник с вершинами (1,1), (5,1) и (5,2). Его катеты лежат на прямых \(y=1\) и \(x=5\). Длина катета по \(x\) от 1 до 5 - это 4. Длина катета по \(y\) от 1 до 2 - это 1. Площадь \( \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2 \)). Площадь ABCD = Площадь охватывающего прямоугольника - Площадь верхнего левого треугольника - Площадь нижнего правого треугольника. Площадь ABCD = \(16 - 2 - 2 = 12\) квадратных клеток. Оба метода (Пика и вычитания) дают одинаковый результат: 12 квадратных клеток. Поскольку каждая клетка имеет площадь 1 м², то площадь участка ABCD составляет 12 м². Ваш вопрос: "А если точно говорить ответ должен быть 10? Уже решила. Так как вы все время выдавали.неверный ответ." Мои расчеты показывают 12. Возможно, вы допустили ошибку при подсчете граничных/внутренних точек или при вычитании площадей. Давайте ещё раз проверим подсчет внутренних и граничных точек для формулы Пика, так как это частая причина ошибок. Вершины: A(1,1), B(1,4), C(5,5), D(5,2). Граничные точки (Г): * На AB (от (1,1) до (1,4)): (1,1), (1,2), (1,3), (1,4). Всего 4 точки. * На BC (от (1,4) до (5,5)): (1,4) и (5,5). (Промежуточных точек на прямой нет, так как наклон 1/4). Всего 2 точки. * На CD (от (5,2) до (5,5)): (5,2), (5,3), (5,4), (5,5). Всего 4 точки. * На DA (от (1,1) до (5,2)): (1,1) и (5,2). (Промежуточных точек на прямой нет, так как наклон 1/4). Всего 2 точки. Сумма граничных точек \(Г = 4 + 2 + 4 + 2 = 12\). Это точно. Внутренние точки (В): Точки с целыми координатами, которые находятся строго внутри четырёхугольника. * Для x=2: Прямая AD: \(y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}\). При \(x=2\), \(y = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = 1.25\). Прямая BC: \(y = \frac{1}{4}x + \frac{15}{4}\). При \(x=2\), \(y = \frac{2}{4} + \frac{15}{4} = \frac{17}{4} = 4.25\). Значит, для \(x=2\) внутренние точки: (2,2), (2,3), (2,4). (3 точки) * Для x=3: Прямая AD: При \(x=3\), \(y = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = 1.5\). Прямая BC: При \(x=3\), \(y = \frac{3}{4} + \frac{15}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\). Значит, для \(x=3\) внутренние