Задача:
Найдите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \(2x - 3y + 5 = 0\) и \(x + 2y - 1 = 0\), а также точку \(M(-2; 3)\).
Решение:
Шаг 1: Найдем точку пересечения двух прямых.
У нас есть система уравнений:
\[\begin{cases} 2x - 3y + 5 = 0 \\ x + 2y - 1 = 0 \end{cases}\]Из второго уравнения выразим \(x\):
\[x = 1 - 2y\]Подставим это выражение для \(x\) в первое уравнение:
\[2(1 - 2y) - 3y + 5 = 0\] \[2 - 4y - 3y + 5 = 0\] \[7 - 7y = 0\] \[7y = 7\] \[y = 1\]Теперь найдем \(x\), подставив \(y = 1\) в выражение для \(x\):
\[x = 1 - 2(1)\] \[x = 1 - 2\] \[x = -1\]Таким образом, точка пересечения прямых \(P\) имеет координаты \(P(-1; 1)\).
Шаг 2: Найдем уравнение прямой, проходящей через две точки \(P(-1; 1)\) и \(M(-2; 3)\).
Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), можно найти по формуле:
\[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\]Пусть \( (x_1, y_1) = P(-1; 1) \) и \( (x_2, y_2) = M(-2; 3) \).
Подставим значения:
\[\frac{x - (-1)}{-2 - (-1)} = \frac{y - 1}{3 - 1}\] \[\frac{x + 1}{-2 + 1} = \frac{y - 1}{2}\] \[\frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 1}{2}\]Перемножим крест-на-крест:
\[2(x + 1) = -1(y - 1)\] \[2x + 2 = -y + 1\]Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить общее уравнение прямой:
\[2x + y + 2 - 1 = 0\] \[2x + y + 1 = 0\]Проверка:
Проверим, проходит ли эта прямая через точку \(P(-1; 1)\):
\[2(-1) + 1 + 1 = -2 + 1 + 1 = 0\]Верно.
Проверим, проходит ли эта прямая через точку \(M(-2; 3)\):
\[2(-2) + 3 + 1 = -4 + 3 + 1 = 0\]Верно.
Ответ: \(2x + y + 1 = 0\)