Задача 1:
Если \(C(1; 1)\) центр окружности, которая проходит через точку \(A(5; 4)\), то уравнение этой окружности имеет вид...
Решение:
Общее уравнение окружности с центром в точке \( (x_0, y_0) \) и радиусом \(r\) имеет вид:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\]Нам даны координаты центра окружности \(C(1; 1)\), то есть \(x_0 = 1\) и \(y_0 = 1\).
Частично подставим эти значения в уравнение:
\[(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = r^2\]Теперь нам нужно найти радиус \(r\). Радиус окружности — это расстояние от центра до любой точки на окружности. В данном случае, это расстояние между центром \(C(1; 1)\) и точкой \(A(5; 4)\), через которую проходит окружность.
Формула для расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) в декартовой системе координат:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]В нашем случае, \(d = r\), \( (x_1, y_1) = (1,1) \) и \( (x_2, y_2) = (5,4) \).
Подставим значения:
\[r = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 1)^2}\] \[r = \sqrt{(4)^2 + (3)^2}\] \[r = \sqrt{16 + 9}\] \[r = \sqrt{25}\] \[r = 5\]Теперь, когда мы знаем радиус \(r = 5\), мы можем найти \(r^2\):
\[r^2 = 5^2 = 25\]Подставим \(r^2\) в уравнение окружности:
\[(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25\]Ответ: \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25\)
Задача 2:
Если уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 = 16\), то его центром \(C\) и радиусом \(r\) являются...
Решение:
Снова используем общее уравнение окружности с центром в точке \( (x_0, y_0) \) и радиусом \(r\):
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\]Нам дано уравнение: \(x^2 + y^2 = 16\)
Мы можем переписать это уравнение в виде:
\[(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 16\]Сравнивая это с общим уравнением, мы видим, что:
\(x_0 = 0\)
\(y_0 = 0\)
Значит, центр окружности \(C\) находится в точке \( (0,0) \).
Также мы видим, что \(r^2 = 16\).
Чтобы найти радиус \(r\), извлечем квадратный корень из 16:
\[r = \sqrt{16}\] \[r = 4\]Таким образом, центром окружности является \(C(0; 0)\), а радиусом \(r = 4\).
Ответ: \(C(0; 0), r = 4\)