Задача 1:
Если \(C(1; 1)\) центр окружности, которая проходит через точку \(A(5; 4)\), то уравнение этой окружности имеет вид...
Решение:
Общее уравнение окружности с центром в точке \( (x_0, y_0) \) и радиусом \(r\) имеет вид:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\]Нам даны координаты центра окружности \(C(1; 1)\), то есть \(x_0 = 1\) и \(y_0 = 1\).
Также известно, что окружность проходит через точку \(A(5; 4)\). Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности равно радиусу \(r\).
Найдем радиус \(r\) как расстояние между точками \(C(1; 1)\) и \(A(5; 4)\) по формуле расстояния между двумя точками:
\[r = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}\] \[r = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 1)^2}\] \[r = \sqrt{(4)^2 + (3)^2}\] \[r = \sqrt{16 + 9}\] \[r = \sqrt{25}\] \[r = 5\]Теперь, когда мы знаем радиус \(r = 5\), мы можем найти \(r^2\):
\[r^2 = 5^2 = 25\]Подставим координаты центра \( (x_0, y_0) = (1, 1) \) и \(r^2 = 25\) в общее уравнение окружности:
\[(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25\]Ответ: \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25\)
Задача 2:
Если уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 = 16\), то его центром \(C\) и радиусом \(r\) являются...
Решение:
Общее уравнение окружности с центром в точке \( (x_0, y_0) \) и радиусом \(r\) имеет вид:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\]Дано уравнение: \(x^2 + y^2 = 16\)
Сравним это уравнение с общим видом. Мы можем переписать данное уравнение как:
\[(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 16\]Из этого сравнения видно, что:
\(x_0 = 0\)
\(y_0 = 0\)
Значит, центр окружности \(C\) находится в точке \( (0, 0) \).
Также мы видим, что \(r^2 = 16\).
Чтобы найти радиус \(r\), нужно извлечь квадратный корень из 16:
\[r = \sqrt{16}\] \[r = 4\]Таким образом, центром окружности является \(C(0; 0)\), а радиусом \(r = 4\).
Ответ: \(C(0; 0), r = 4\)