Вопрос 1:
Укажите пару чисел, которая является решением системы уравнений
\[ \begin{cases} 3y + 4x = 10 \\ y - x = 1 \end{cases} \]- 1; -2
- 1; 2
- -1; -2
- 1; 1
Правильный ответ: 2) 1; 2
Пояснение: Решим систему уравнений. Из второго уравнения выразим \(y\): \(y = x + 1\) Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение: \(3(x + 1) + 4x = 10\) \(3x + 3 + 4x = 10\) \(7x + 3 = 10\) \(7x = 10 - 3\) \(7x = 7\) \(x = 1\) Теперь найдем \(y\), подставив \(x = 1\) во второе уравнение: \(y - 1 = 1\) \(y = 1 + 1\) \(y = 2\) Таким образом, решением системы является пара чисел \(x = 1, y = 2\).
Вопрос 2:
Решите систему трех линейных уравнений
\[ \begin{cases} 3x - y + z = 12 \\ 5x + y + 2z = 3 \\ x + y + 2z = 3 \end{cases} \]- 0; -7; 5
- 0; 7; 5
- 0; 7; -5
- 0; -7; -5
Правильный ответ: 3) 0; 7; -5
Пояснение: Обозначим уравнения: (1) \(3x - y + z = 12\) (2) \(5x + y + 2z = 3\) (3) \(x + y + 2z = 3\) Заметим, что правые части уравнений (2) и (3) равны. Это означает, что левые части этих уравнений также должны быть равны: \(5x + y + 2z = x + y + 2z\) Вычтем \(y + 2z\) из обеих частей: \(5x = x\) \(4x = 0\) \(x = 0\) Теперь, когда мы знаем, что \(x = 0\), подставим это значение в уравнения (1) и (2) (или (3)): Из (1): \(3(0) - y + z = 12\) \(-y + z = 12\) (4) Из (2): \(5(0) + y + 2z = 3\) \(y + 2z = 3\) (5) Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(y\) и \(z\): \[ \begin{cases} -y + z = 12 \\ y + 2z = 3 \end{cases} \] Сложим уравнение (4) и уравнение (5): \((-y + z) + (y + 2z) = 12 + 3\) \(-y + y + z + 2z = 15\) \(3z = 15\) \(z = 5\) Теперь подставим \(z = 5\) в уравнение (5) (или (4)): \(y + 2(5) = 3\) \(y + 10 = 3\) \(y = 3 - 10\) \(y = -7\) Таким образом, решением системы является тройка чисел \(x = 0, y = -7, z = 5\).