Задача:
Мистер Фокс купил сломанный калькулятор. Он может выполнять только две команды:
- Прибавить 2;
- Умножить на 3.
Можно ли с помощью калькулятора мистера Фокса преобразовать число 3 в число 69, используя не более 5 команд? Если можно, то напишите последовательность команд без пробелов, используя только цифры.
Решение:
Нам нужно получить число 69, начиная с числа 3, используя не более 5 команд. Обозначим команду "Прибавить 2" как 1, а команду "Умножить на 3" как 2.
Будем искать последовательность команд, начиная с числа 3 и постепенно приближаясь к 69.
Попробуем различные комбинации:
Вариант 1:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(9 \times 3 = 27\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(27 \times 3 = 81\) (Слишком много, уже за 3 команды)
Вариант 2:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(5 \times 3 = 15\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(15 \times 3 = 45\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(45 + 2 = 47\) (Не 69)
Вариант 3:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(7 \times 3 = 21\)
5. Команда 2 (Умножить на 3): \(21 \times 3 = 63\)
Это 4 команды, получили 63. Нам нужно 69. Осталась 1 команда.
6. Команда 1 (Прибавить 2): \(63 + 2 = 65\) (Это 5 команд, но результат 65, а не 69)
Вариант 4 (Попробуем идти "от конца" к началу):
Мы хотим получить 69. Если последняя команда была "Прибавить 2", то перед ней было \(69 - 2 = 67\). Если последняя команда была "Умножить на 3", то перед ней было \(69 \div 3 = 23\).
Давайте попробуем получить 23 за 4 команды, начиная с 3.
Теперь наша цель - получить 23 за 4 команды.
Если последняя команда для получения 23 была "Прибавить 2", то перед ней было \(23 - 2 = 21\).
Теперь наша цель - получить 21 за 3 команды, начиная с 3.
Если последняя команда для получения 21 была "Умножить на 3", то перед ней было \(21 \div 3 = 7\).
Теперь наша цель - получить 7 за 2 команды, начиная с 3.
Если последняя команда для получения 7 была "Прибавить 2", то перед ней было \(7 - 2 = 5\).
Теперь наша цель - получить 5 за 1 команду, начиная с 3.
Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\).
Мы нашли путь! Теперь запишем его в прямом порядке, начиная с 3:
1. Начинаем с числа 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(7 \times 3 = 21\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(21 + 2 = 23\)
6. Команда 2 (Умножить на 3): \(23 \times 3 = 69\)
Эта последовательность состоит из 6 команд, что превышает лимит в 5 команд. Значит, этот путь не подходит.
Давайте попробуем другой путь, чтобы получить 23 за 4 команды.
Цель: 23. Начинаем с 3. 4 команды.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(11 + 2 = 13\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(13 + 2 = 15\) (Это 4 команды, но не 23)
Давайте попробуем еще раз с обратным ходом, но с другой предпоследней командой.
Цель: 69. Не более 5 команд.
Предположим, что последняя команда была "Прибавить 2". Тогда перед ней было \(69 - 2 = 67\).
Теперь нам нужно получить 67 за 4 команды, начиная с 3.
Если перед 67 была команда "Прибавить 2", то было \(67 - 2 = 65\).
Если перед 65 была команда "Прибавить 2", то было \(65 - 2 = 63\).
Если перед 63 была команда "Умножить на 3", то было \(63 \div 3 = 21\).
Теперь нам нужно получить 21 за 2 команды, начиная с 3.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\) (Не 21)
Попробуем другой путь к 21 за 2 команды:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(5 \times 3 = 15\) (Не 21)
Попробуем еще раз к 21 за 2 команды:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(7 + 2 = 9\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
6. Команда 1 (Прибавить 2): \(11 + 2 = 13\)
7. Команда 1 (Прибавить 2): \(13 + 2 = 15\)
8. Команда 1 (Прибавить 2): \(15 + 2 = 17\)
9. Команда 1 (Прибавить 2): \(17 + 2 = 19\)
10. Команда 1 (Прибавить 2): \(19 + 2 = 21\)
Это 9 команд, слишком много.
Давайте попробуем найти последовательность, которая работает.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(5 \times 3 = 15\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(15 + 2 = 17\)
5. Команда 2 (Умножить на 3): \(17 \times 3 = 51\)
Это 4 команды, получили 51. Нам нужно 69. Осталась 1 команда.
6. Команда 1 (Прибавить 2): \(51 + 2 = 53\) (Не 69)
Попробуем другую комбинацию.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(11 \times 3 = 33\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(33 + 2 = 35\) (Не 69)
Давайте попробуем еще раз с обратным ходом, но с другой структурой.
Цель: 69.
Если последняя команда была "Умножить на 3", то перед ней было \(69 \div 3 = 23\).
Нам нужно получить 23 за 4 команды, начиная с 3.
Попробуем получить 23:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(5 \times 3 = 15\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(15 + 2 = 17\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(17 + 2 = 19\)
Это 4 команды, но результат 19, а не 23.
Давайте попробуем другую комбинацию для 23 за 4 команды:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(7 + 2 = 9\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
Это 4 команды, но результат 11, а не 23.
Давайте попробуем такой путь:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(11 + 2 = 13\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(13 + 2 = 15\)
Это 4 команды, но результат 15, а не 23.
Найденный путь:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 2 (Умножить на 3): \(5 \times 3 = 15\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(15 + 2 = 17\)
5. Команда 2 (Умножить на 3): \(17 \times 3 = 51\)
Это 4 команды, получили 51. Нам нужно 69. Осталась 1 команда.
Если мы сделаем еще одну команду "Прибавить 2", то \(51 + 2 = 53\).
Если мы сделаем еще одну команду "Умножить на 3", то \(51 \times 3 = 153\).
Значит, этот путь не ведет к 69 за 5 команд.
Давайте попробуем другой путь.
1. Начинаем с 3.
2. Команда 2 (Умножить на 3): \(3 \times 3 = 9\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(9 + 2 = 11\)
4. Команда 1 (Прибавить 2): \(11 + 2 = 13\)
5. Команда 2 (Умножить на 3): \(13 \times 3 = 39\)
Это 4 команды, получили 39. Нам нужно 69. Осталась 1 команда.
Если мы сделаем еще одну команду "Прибавить 2", то \(39 + 2 = 41\).
Если мы сделаем еще одну команду "Умножить на 3", то \(39 \times 3 = 117\).
Значит, этот путь не ведет к 69 за 5 команд.
Давайте попробуем такой путь:
1. Начинаем с 3.
2. Команда 1 (Прибавить 2): \(3 + 2 = 5\)
3. Команда 1 (Прибавить 2): \(5 + 2 = 7\)
4. Команда 2 (Умножить на 3): \(7 \times 3 = 21\)
5. Команда 1 (Прибавить 2): \(21 + 2 = 23\)
Это 4 команды, получили 23. Нам нужно 69. Осталась 1 команда.
6. Команда 2 (Умножить на 3): \(23 \times 3 = 69\)
Это 5 команд! Мы нашли решение.
Последовательность команд:
1. Начинаем с 3.
2. Прибавляем 2 (команда 1): \(3 + 2 = 5\)
3. Прибавляем 2 (команда 1): \(5 + 2 = 7\)
4. Умножаем на 3 (команда 2): \(7 \times 3 = 21\)
5. Прибавляем 2 (команда 1): \(21 + 2 = 23\)
6. Умножаем на